И. Магнитостатика
Основные формулы
∙ Индукция магнитного поля, созданного элементом тока (Idl) в точке на расстоянии r от него (закон Био – Савара – Лапласа):
dB = (mm0/4p) [(Idl) r]/r3
∙ Принцип суперпозиции магнитных полей:
B = å Bi или B = ò dB .
∙ Индукция магнитного поля:
а) бесконечно длинного прямого проводника с током на расстоянии r от него –
B = mm0I / (2pr);
б) отрезка проводника с током –
B = (mm0/ 4p) I/r (cos j1 – cos j2),
где ϕ1 и ϕ2 – углы между направлениями тока в проводнике и соответствующими радиус-векторами r1 и r2, проведенными от концов отрезка к точке, в которой определяется магнитное поле;
в) в центре кругового витка радиуса R с током –
B = m0I / (2R);
∙ Сила Лоренца:
FЛ = qE + q[v B] .
∙ Сила Ампера:
dFА = [(I dl) B] .
Магнитное поле постоянного тока (поле прямого тока) |
|
|||||||
|
|
|
И - 1 |
|
|
|
|
|
По двум длинным прямолинейным |
|
|
|
|
|
|||
проводам, |
находящимся |
в |
воздухе на |
|
|
I |
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
расстоянии d=8 см перпендикулярно друг |
|
z |
∙O |
|
||||
другу текут токи I=10A каждый. |
|
|
|
|
||||
Определить |
индукцию |
B |
магнитного |
|
o |
|
|
|
поля, создаваемого токами в точке О, |
|
|
|
y |
|
|||
равноудаленной от обоих |
проводников |
o |
|
|
I |
o |
||
(см. рис.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Направление вектора индукции B магнитного |
||||||||||
|
B |
|
|
|||||||||
|
|
поля, |
созданного |
элементом |
проводника |
с |
током |
I, |
||||
|
· |
|
определяется в соответствии с правилом буравчика. |
О |
||||||||
|
I |
|
|
Индукция |
В магнитного |
поля |
в |
т. |
||||
|
|
|
определяется по принципу суперпозиции : |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
BΣ= B1 + B2, |
|
|
|
|
|
|
||
где B1– вектор индукции магнитного |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
поля, созданного током I1 первого |
|
|
o |
|
|
|
|
|||||
проводника; |
|
|
|
|
|
z |
I2 |
·O |
|
|
|
|
B2– вектор индукции магнитного поля, |
|
|
В1 |
|
|
|
||||||
созданного током I2 второго проводника. |
|
|
В2 |
|
|
|||||||
|
Таким образом, векторы B1 |
и B2 |
|
o |
|
|
|
|||||
взаимно перпендикулярны. Поэтому |
|
|
|
y |
|
|
||||||
o |
|
В |
|
|
o |
|
||||||
модуль |
вектора |
индукции |
|
I1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
результирующего |
магнитного |
поля |
|
x |
|
|
|
|
|
|||
определяется по теореме Пифагора: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
BΣ = 
B12 + B22 .
Сучетом того, что токи, протекающие в двух проводниках одинаковы, а также точка О, в которой определяется магнитная индукция, расположена на одинаковом расстоянии от проводников, то В1=В2=В и
BΣ = 
B12 + B22 = 
2B2 = B
2 .
Индукция магнитного поля, созданного током I бесконечно длинного прямого проводника в точке, расположенной на расстоянии r от проводника, определяется соотношением:
B = μ 0μ I ,
2π r
где m0 = 4p×10-7Гн/м – магнитная постоянная в системе единиц СИ; m – магнитная проницаемость среды.
Отсюда следует:
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
× 4p × 10− 7 × 10 |
|
|
|
|
|
2m m |
|
|
|
|
|||||
BΣ |
= |
|
0 |
= |
|
2 |
= 35 мкТл. |
|||||
|
2p d |
|
|
|
2p × 8 × 10− |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( Для воздушной среды магнитная проницаемость m = 1). Ответ: ВΣ = 35 мкТл.
Магнитное поле постоянного тока (поле изогнутого проводника)
И - 2
Бесконечно длинный проводник изогнут так, как это изображено на рисунке. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого в точке О током I = 80A, текущим по проводнику. Принять r = R/2, где R=1м.
Решение:
Магнитная индукция BΣ в т. О
IR r∙О I
определяется по принципу
суперпозиции: BΣ=ΣBi.
Разобьём проводник на 5 частей: два прямолинейных участка проводника (1 и 5), одним концом уходящих в бесконечность; участок 2 – четверть окружности радиусом R; отрезок (3); участок 4 –
полуокружность радиуса r=R/2. Тогда вектор индукции BΣ результирующего магнитного поля :
BΣ=ΣBi=В1+В2+В3+В4+В5,
|
|
|
|
|
где Bi ─ магнитные индукции полей в |
|
2 |
|
3 |
|
|
точке О, создаваемых токами, текущими |
|
|
|
|
соответственно по каждому из этих |
|||
1 |
R |
О В |
|
|
участков проводника. |
B3 магнитных |
I |
4 |
r |
I |
|
Индукции B1 и |
|
|
полей токов первого и третьего участков |
|||||
В |
|
В |
|
5 |
||
|
|
равны нулю, так как токи в этих |
||||
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
участках направлены |
вдоль оси, |
|
проходящей через точку О; вектор В2 в точке О направлен, в соответствии с правилом буравчика, перпендикулярно плоскости чертежа, от нас, а векторы В4 и В5 – перпендикулярно плоскости чертежа, к нам. Таким образом, не равные нулю векторы магнитной индукции В2, В4, В5, направлены параллельно оси x, перпендикулярной плоскости чертежа и модуль вектора индукции
BΣ результирующего магнитного поля равен:
BΣ = –В2 + В4 + В5,
где знак «–» перед В2 означает, что этот вектор направлен против направления оси x.
Магнитная индукция второго участка В2 определяется по формуле для магнитной индукции в центре кругового проводника радиуса R с током I:
B = m 0I . 2R
С учетом того, что магнитная индукция В2 создана четвертью кругового проводника, выражение приобретает вид:
B2 = 14 × m2R0 I .
Магнитная индукция В4 четвертого участка, являющегося полуокружностью радиуса R/2, определяется также:
B4 = |
1 |
× |
m 0 I |
. |
|
2 |
2 × R / 2 |
||||
|
|
|
Магнитная индукция В5, созданная током I отрезка проводника (5) определяется по формуле:
B = |
m 0 |
× |
I |
(cosj 1 - cosj 2 ). |
4p |
|
|||
|
|
r0 |
||
Для данного участка r0=R/2; с учетом того, что проводник (5) полубесконечный:
∙ О |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1= π/2 |
и |
cos ϕ1= 0; |
|||||
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
ϕ2= π |
и cos ϕ2= –1; |
|||||||
R/2 r1 |
|
ϕ 2 |
|
|
Тогда: |
|
|
B5 |
= |
|
m 0 I |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ϕ |
1 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
4p |
× R / 2 |
|||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
Результирующая магнитная индукция BΣ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поля в точке О: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
m 0 I |
|
m 0 I |
|
1 |
m 0I |
||
|
|
BΣ= В4+В5–В2 = |
2 |
× |
|
+ |
|
– |
4 |
× 2R . |
||||||
|
|
2 × R / 2 |
4p × R / 2 |
|||||||||||||
Подставив числовые значения, получим результирующую магнитную индукцию BΣ= 53,75 мкТл.
И - 3
По сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса R течет ток плотности j . Рассчитать индукцию магнитного поля внутри и вне проводника.
Решение.
Используем теорему о циркуляции вектора индукции B:
|
|
|
|
ò Bdl = |
m 0 å I . |
|
|
||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим точку А1, расположенную на |
|||||
|
j |
|
расстоянии |
r1 |
от оси проводника. Проведем |
||||
|
R |
окружность |
радиуса r1 с центром О на оси |
||||||
A |
r |
|
|||||||
|
проводника. |
|
Сумма |
токов, |
охватываемая |
||||
1 |
O |
|
окружностью |
|
равна |
j× p r2 . |
Учтем, что |
||
|
|
|
A2 |
окружность является силовой линией. Вследствие |
|||||
|
|
|
симметрии модуль вектора индукции одинаков во |
||||||
всех точках окружности и направлен по касательной, следовательно |
|||||||||
|
|
|
|
ò Bdl = ò Bdlcosa |
= Bl |
(cos α =1) |
|
||
ll
Итак, |
B2p r = m |
0 |
jp r2 |
, |
|
1 |
1 |
|
|
В |
= |
1 m |
jr |
откуда |
1 |
|
2 |
0 1 . |
Рассмотрим точку А2, расположенную на расстоянии r2 > R от оси проводника. По теореме о циркуляции находим
B2 2p 2 = m 0 jp R ,
|
B2 = |
m 0 jR 2 |
откуда |
. |
|
|
|
2r2 |
График зависимости В от r представлен на рисунке:
В
R |
r |