Лекция 7. Векторное и смешанное произведение векторов

1. Векторное произведение

Определение. Векторным произведением векторов a и b называется вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:

1)c = a b sinϕ , где ϕ - угол между векторами a и b , sinϕ ≥ 0;0 ≤ ϕ ≤ π .

2)вектор c ортогонален векторам a и b

3)a,b,c образуют правую тройку векторов.

Обозначается: c = a × b или c = a,b .

Свойства векторного произведения векторов:

1)b× a = −a × b;

2)a × b = 0, если a b или a = 0 или b = 0;

3)(ma)× b = a × (mb) = m(a × b);

4)a × (b + c) = a × b + a × c;

5)Если заданы векторы a (xa , ya , za ) и b(xb , yb , zb ) в декартовой прямоугольной системе

i j k

координат с единичными векторами i, j, k , то a × b = xa ya za ; xb yb zb

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b .

Пример. Найти векторное произведение векторов a = 2i + 5 j + k и b = i + 2 j − 3k . a = (2,5,1),b = (1, 2, −3)

29

2. Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением векторов a,b, c называется число, равное скалярному произведению вектора a на вектор, равный векторному произведению векторов b,c .

Обозначается a b c или (a,b,c).

Смешанное произведение a b c по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c .

Свойства смешанного произведения: 1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из векторов равен нулю; б) два из векторов коллинеарны; в) векторы компланарны.

2)(a × b) c = a (b× c)

3)(a,b,c) = (b, c, a) = (c, a,b) = − (b, a,c) = − (c,b, a) = − (a, c,b)

4)(λ a1 + μ a2 ,b, c) = λ (a1,b, c)+ μ (a2 ,b, c)

5)Объем треугольной пирамиды, образованной векторами a,b,c , равен 16 (a,b,c)

Пример. Доказать, что точки A(5,7, 2), B (3,1, −1),C (9, 4, −4), D (1,5,0) лежат в одной плоскости.

AB = (−2; −6;1)

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань B C D , если вершины имеют координаты A ( 0 ; 0 ; 1 ) , B ( 2 ; 3 ; 5 ) , C ( 6 ; 2 ; 3 ) , D ( 3 ; 7 ; 2 ) .

30