- •Содержание
- •Лекция 1. Матрицы. Основные понятия
- •1. Матрицы
- •2. Действия над матрицами
- •2.1. Равенство матриц
- •2.2. Сложение матриц
- •2.3. Умножение матрицы на число
- •2.4. Вычитание матриц
- •2.5. Произведение двух матриц
- •Лекция 2. Определители и их свойства
- •1. Понятия определителя
- •2. Определение минора
- •3. Вычисление определителей
- •4. Свойства определителей
- •Лекция 3. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений
- •1. Обратная матрица
- •2. Решение систем линейных уравнений
- •2.1 Система линейных уравнений
- •2.2 Решение систем линейных уравнений матричным методом
- •2.3 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
- •Ранг матрицы
- •Лекция 4. Исследование систем линейных уравнений
- •2. Метод Гаусса
- •Решение однородных систем
- •Лекция 5. Основные понятия векторной алгебры
- •1. Свойства векторов
- •2. Линейная зависимость векторов
- •*Декартова система координат*
- •Лекция 6. Скалярное произведение векторов
- •Лекция 7. Векторное и смешанное произведение векторов
- •1. Векторное произведение
- •2. Смешанное произведение векторов
- •Лекция 8. Понятие линии на плоскости
- •1. Уравнение линии на плоскости
- •2. Уравнение прямой на плоскости
- •3. Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •4. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •5. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •6. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •7. Уравнение прямой в отрезках
- •8. Нормальное уравнение прямой
- •9. Угол между прямыми на плоскости
- •10. Расстояние от точки до прямой
- •Лекция 9. Плоскость и прямая в пространстве
- •1. Общее уравнение плоскости
- •2. Уравнение поверхности в пространстве
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •4. Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости
- •5. Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости
- •6. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали
- •7. Уравнение плоскости в отрезках
- •8. Уравнение плоскости в векторной форме
- •9. Расстояние от точки до плоскости
- •10. Уравнение линии в пространстве
- •11. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору
- •12. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
- •13. Общие уравнения прямой в пространстве
- •14. Угол между плоскостями
- •15. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •16. Угол между прямыми в пространстве
- •17. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
- •18. Угол между прямой и плоскостью
- •19. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
- •Лекция 10. Кривые второго порядка
- •1. Окружность
- •2. Эллипс
- •3. Гипербола
- •4. Парабола
- •Лекция 11. Поверхности второго порядка
- •1. Цилиндрические поверхности
- •2. Поверхности вращения
- •Лекция 12. Введение в анализ
- •1. Числовая последовательность
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности
- •3. Монотонные последовательности
- •4. Предел функции в точке
- •5. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
- •6. Основные теоремы о пределах
- •Лекция 13. Бесконечно-малые и бесконечно- большие функции
- •1. Бесконечно малые функции
- •2. Свойства бесконечно малых функций
- •3. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
- •4. Сравнение бесконечно малых функций
- •5. Свойства эквивалентных бесконечно малых
- •6. Некоторые замечательные пределы
- •Лекция 14. Непрерывность функции
- •1. Непрерывность функции в точке
- •2. Свойства непрерывных функций
- •3. Непрерывность некоторых элементарных функций
- •4. Непрерывность функции на интервале и на отрезке
- •5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Точки разрыва
- •Бином Ньютона (полиномиальная формула)
- •Элементы математической логики
- •Приложения
- •Полярная система координат
- •Комплексные числа
- •Тригонометрическая форма числа
- •Действия с комплексными числами
- •Показательная форма комплексного числа
- •Элементы комбинаторики
- •Булевы функции
- •Исчисление предикатов
- •Дискретная математика
- •Конечные графы и сети
- •Матрицы графов
- •Достижимость и связность
- •Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •Деревья и циклы
- •Квадратичные формы
- •Приведение квадратичных форм к каноническому виду
- •Собственные значения и собственные вектора
- •Элементы топологии
- •Метрическое пространство
- •Открытые и замкнутые множества
- •Непрерывные отображения
- •Топологические произведения
- •Связность
- •Компактность
Лекция 1. Матрицы. Основные понятия
1.Матрицы
Основные понятия
1 0 . Матрицей размером m × n называется множество чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m-строк n-столбцов.
Матрица обозначается заглавными буквами латинского алфавита A,B,C,…
a11 |
a12 |
|
a |
a |
|
A = 21 |
|
22 |
... |
... |
|
|
am2 |
|
am1 |
||
... |
a1n |
|
|
|
|
... |
a2n |
, или |
a |
... |
|
ij |
|
|
... |
|
|
amn |
|
A = aij m×n .
Здесь aij - элементы матрицы. Каждый элемент имеет два индекса, первый обозначает номер строки, а второй номер столбца.
Если m = n , то матрица квадратная порядка n, m≠n, то прямоугольная. 2 0 . Матрица состоящая из одной строки называется строчной
B = (b11 b12 ... b1n )
3 0 . Матрица, состоящая из одного столбца, называется столбцовой
c11c C = 21...
cm1
4 0 . Квадратная матрица, у которой все элементы нестоящие на главной диагонали равны 0, называется диагональной
d11 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
d22 |
0 |
0 |
|
D = |
|
|
|
|
. |
|
|
... |
... |
0 |
|
... |
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
dnn |
|
5 0 . Диагональная матрица, у которой все элементы равны 1, называется единичной
1 |
0 ... |
0 |
|
|
|
0 |
1 ... |
0 |
|
E = |
. |
|||
... |
... ... |
... |
||
|
0 |
0 ... |
1 |
|
|
|
|||
6 0 . Если в матрице А поменять местами строчки и столбцы то полученная матрица называется транспонированной Аt .
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
a11 |
a12 |
... |
am1 |
|
||||
a |
|
a |
|
... |
a |
|
|
, то |
a |
a |
... |
a |
|
A = |
21 |
|
22 |
|
|
2n |
At = 21 |
22 |
|
m2 |
. |
||
|
|
... |
... |
... |
|
|
|
|
... ... |
|
|||
... |
|
|
... ... |
|
|||||||||
am1 |
am2 |
... |
amn |
|
a1n |
a2n |
... |
amn |
|
||||
5