14 Билет

Теорема о границах числовых множеств.

Множество  называется ограниченным сверху, если существует числотакое, что для всех. Число M называется верхней границей (мажорантой) множества .

Точной верхней границей множества называется числотакое, что

(т.е.одна из верхних границ множества)

(т.е. границумножестванельзя уменьшить)

Точная верхняя граница множества Е обозначается , а нижняя.

Нижняя граница:

. (т.е.одна из нижних границ множества ).

(т.е. границумножестванельзя увеличить).

Теорема. 

Если непустое множество действительных чисел ограничено сверху, то существует точная верхняя граница этого множества.

Доказательство(метод Больцано(«поимки льва») — метод деления отрезка пополам):

Пусть и множество Е ограничено сверху числом М. Рассмотрим отрезок, заметим , что правеенет точек из Е. Разделим отрезок на два равных отрезка и обозначимсамый правый из них, содержащий хотя бы одну точку из Е, т.е. правеенет точек из Е. Так же поступим с отрезкоми получим отрезоксодержащий хотя бы одну точку из Е, правее которого нет точек из Е. Продолжив этот процесс по индукции, получим последовательность отрезков, длины которых. При этом при любомправеенет точек из Е. На основании принципа вложенных отрезков существует единственная точка, лежащая  во всех отрезках системы.

Докажем, что .  В самом деле, по построению для всехи для всехвыполняется неравенство. Тогда, переходя к пределу в этом неравенстве при,  получим (используя то, что)  неравенство.Возьмем теперь любое. Тогда (так как и) существует номертакой, чтолежит левее отрезка. При этом влежит хотя бы одна точка , т.е. выполняется неравенство. Следовательно.

Билет 15

Принцип Бореля-Лебега.

Определение. Говорят, что система множеств S = {X} покрывает множество Y , если любой y ∈ Y содержится, по крайней мере, в одном из множеств X, т.е. Y ⊂ ∪X.

Теорема.

В любой системе интервалов, покрывающих отрезок [a, b], имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Доказательство.

Пусть S = {U} есть система интервалов U, покрывающих отрезок [a,b] = I1. Если I1 нельзя покрыть конечным числом интервалов U, то поделим I1 пополам и выберем из двух отрезков тот, который не покрывается конечным числом интервалов U. Обозначим этот отрезок I2. Продолжая этот процесс, получим последовательность I1, I2, . . . , In, . . . , причем длина отрезка In (обозначим ее |In|) равна По теореме Кантора о вложенных отрезках существует точка c ∈ In для любого n. Элемент c принадлежит также интервалу U = (α, β) из системы S. Пусть теперь ε = min (c − α, β − c) и |In| < ε. Тогда In ⊂ (α, β). Но это противоречит тому, что отрезок In нельзя покрыть системой интервалов {U}.

Замечание. Из доказательства видно, что принцип Бореля-Лебега вытекает из принципа Кантора о вложенных отрезках. Можно показать, что принцип Кантора является следствием теоремы Принцип Бореля-Лебега. Такие утверждения называются эквивалентными.

Билет 17 Билет 19

Критерий Коши предела функции в точке.

Говорят, что функцияудовлетворяет условию Коши в точке, если она определена в, быть может, кроме самой точки, и выполнено:

Теорема.

Для того чтобы существовал конечный предел необходимо и достаточно, чтобы в точкевыполнялось условие Коши для функции

Доказательство.Необходимость.Легко следует из определения предела по Коши(

). Действительно, возьмем любое, тогда длянайдется.Возьмем любые, тогда

Достаточность.Пусть выполняется условие Коши (см. выше). Докажем, что существует(по Гейне). Пусть дана любая последовательностьВозьмем любое, по нему найдемиз условия Коши, тогда существует номертакой, что для всех, а следовательно, снова по условию Коши, выполняется неравенство. Отсюдафундаментальна (см. критерий Коши сходимости последовательностей), значит, последовательностьсходится к некоторому числу.Остается доказать, что и для другой последовательности. Действительно, по изложенному выше существуетпри. Рассмотрев третью последовательностьбудем иметь. Следовательно,