Билет 25

Теорема о существовании обратной функции

Функция называется строго монотонной если она строго убывающая или строго возрастающая.

Функция f(x) называется строго возрастающей на множестве Х, если для всех х₁ и х₂ (х₁<x₂): f(x₁) < f(x₂)

Если функция f:   и строго монотонная на множестве X, то обратное соответствие однозначное, т.е. будет обратной функцией, и тоже строго монотонное.

Доказательство. Положим, для определенности, что функция f(x) строго монотонно возрастает на X. Возьмем любое. Так как по условию теоремы прямая функция отображает X на Y, то полный прообраз элемента y не пуст, т.е.. Если предположить, что состоит более чем из одного элемента, то получим противоречие. Действительно, пусть x₁, x₂. Тогда, если x₁<x₂, то по условию строгого монотонного возрастания функции f(x) справедливо неравенство f(x₁)<f(x₂) но это противоречит тому, что f(x₁) = y = f(x₂). Если x₁>x₂, получим аналогичное противоречие. Следовательно, f^—1(y) состоит только из одного элемента, и поэтому соответствие есть обратная функция.

Функция f^—1 — строго монотонно возрастающая на Y. Действительно, пусть y₁<y₂ и x₁ = f^—1(y₁), x₂= f^—1(y₂), тогда если x₁=x₂, то y₁ = f(x₁) = f(x₂) = y₂, а у нас; y₁<y₂ если x₁>x₂ то y₁=f(x₁)>f(x₂)=y2, а у нас y₁<y₂. Следовательно, x₁ = f^—1(y₁)<f^—1(y₂)=x₂, то есть функция f^—1(y) строго монотонно возрастает на Y.

Билет 26

Предположим, что функция f определена в некоторой окрестности точкиx_0. Функцияназываетсянепрерывной в точкеx₀, если существует предел функцииf приx→x₀, и он равен ее значению в точкеx₀ , т. е.

Функция называетсянепрерывнойв точкепо Коши, если она определена в (a,b) и для любого ε>0 существуетδ>0 такое, что для всехи|x-x₀|< δвыполняется неравенство|f(x)–f(x₀)| < ε

Функция f называется непрерывной в точкепо Гейне, если она определена в (a,b) и для любой последовательноститакой, чтоx_n→x₀, выполняетсяf(x_n) →f(x₀).

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции: Пусть функция y = f(x) определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке[a, b], f(a) = A; f(b) = B. Тогда f([a, b]) = [A, B] , и обратная функция f^–1 определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке[A, B] .

Доказательство.

[Если функцияfнепрерывна на отрезке [a,b],f (a) =A,f(b) =B, причемA<B, и С – произвольное число такое, чтоA<C<B, то найдется по крайней мере одна точкасϵ (a,b), в которойf(c) =C(т.е. непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка).]

Докажем сначала, чтоf([a,b]) = [A,B]. Пусть. ЕслиC=AилиC=B, то. Если, то поодномуиз свойств функций, непрерывных на отрезке найдется такая, чтоC=f(c), т. е.Cϵf([a,b]).

Пусть Cϵf([a,b]), тогда найдетсятакая, чтоC=f(c).

Следовательно, в силу строгого возрастания функции f на отрезке [a,b] имеем:A=f(a)≤f(c)=C≤f(b)=B. Таким образом,.

Итак, f^–1 : [A, B] → [a, b]возрастает, следовательно, по теореме о однозначности и монотонности обратного соответствия

[Если функцияf: и строго монотонная на множествеX, то обратное соответствие :Y→Xоднозначное, т.е. будет обратной функцией , и тоже строго монотонное.]

существует обратная функция f^–1 : [A, B] → [a, b], и она строго возрастает на [A,B].

Докажем теперь непрерывность функции f^–1на отрезке [A,B]. Рассмотрим любоеи любую последовательность, сходящуюся кy₀. Обозначим.

Надо доказать, что x_n→x₀. Предположим противное. Тогда из условияследует, что существует ее подпоследовательностьиx’ ≠x₀. Из непрерывности функцииf (x) в точкеследует сходимостьf(x_k) = f(f^–1(y_nk)) = y_nkкf(x’) ≠ y₀ = f(x₀). Ноy_nk→y₀, а это дает противоречие.