Билет 31

Дифференцируемость функции в точке: правила дифференцирования, дифференцируемость сложной функции.

Выведем важнейшие формулы, касающиеся вычисления производных. В дальнейшем и– некоторые функции, у которых существуюти, а C - некоторая константа (число).

1.

Доказательство:

2.

Доказательство:

Аналогично выводится формула для .

3.

Доказательство

В числителе дроби прибавим и вычтем комбинацию

4.

Доказательство:

прибавляем и вычитаем в числителе комбинацию

5.

В выражении подразумевается, что производная от функцииберется так, как будтоявляется единым целым (аргументом).

Доказательство:

Пусть аргумент получил приращение. Тогда функция >получила приращениетак что. Поэтому

делим и умножаем дробь на

6.

Доказательство:

Пусть так что. Если аргументу x дать приращението величинаполучит приращение. Поэтому

Однако в данной формуле есть одна неувязка. Слева стоит функция от , а справа получилась функция от. Чтобы устранить это несоответствие надо в правой части заменитьна. Тогда получим окончательно

.

7.

Вывод этой формулы следует разбирать после прочтения следующего параграфа.

Доказательство:

Обозначим . Тогда. Вычисляя производную от обеих частей этого равенства, получим

Отсюда

правило: для того чтобы вычислить производную от , надо это выражение сначала прологарифмировать.

Билет 33

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций:

(Ферма).

Если функция f определена на интервале(a,b) в точке принимает наибольшее значение и производнаясуществует, то

Доказательство.По условию теоремы для всехвыполняется неравенство

Тогда (см. рис.1)

Если

Так как существует производная

, то существуют и односторонние производные, и они равны производной .Поэтому из (рис. 1) следует а из (рис.2) следует . Отсюда имеем .

(Ролля).

Пусть функция f

1)непрерывна на отрезке [a,b]

2)имеет в каждой точке интервала (a,b) производную;

3)имеет на концах отрезка равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует точка такая, что .

По второй теореме Вейерштрасса непрерывная функция f(x) на отрезке [a,b] принимает наибольшее и наименьшее значения в некоторых точках отрезка [a,b] (см. рис 2). Пусть , . Если m=M то , поэтому на (a,b). Если , т.е. m<M, то из условия f(a)=f(b) следует, что одно из значений, m или M, функцией f(x) не принимается на концах отрезка [a,b], а принимается внутри интервала (a,b). Пусть, для определенности, значение M принимается внутри интервала (a,b), т.е. cуществует точкатакая, чтодля всех x 𝟄 (a,b)

Так как производная функции f(x) существует в точке , то по теореме Ферма

(Лагранжа)

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет производную в каждой точке интервала (a,b). Тогда существует точка такая, что f(b)-f(a)=f’

Доказательство. Рассмотрим функцию

, т.е. .Отсюда . Для функции F(x) выполнены все условия теоремы Ролля

1)F(x) непрервына на [a,b]

2)существует F’(x)=f’(x)-λ в (a,b);

3)F(b)=F(a).

Тогда по теореме Ролля существует такая, что F’=0, т.е. f()=λ. Следовательно, f’()=.

Замечание. При a=x, x-a=Δx, т.е. b=a+Δx, получаем формулу конечных приращени

Лагранжа

, , 0<<1, или Δy=f’(x+x)Δx. Полезно сравнить это равенство с асимптотической формулой .

Следствие. Пусть функция f

1)непрерывна на [x₀,b)

2)дифференцируема на (x₀,b)

3)существует , конечный или нет.

Тогда существует правая производная , конечная или нет, и

Напомним, что , если функция f(x) непрерывна в точке x₀ справа и существует

Д

оказательство. Пусть f’(x) Возьмем любое x𝟄 (x₀,b), тогда по теореме Лагранжа, применённой к отрезку [x₀,x], существует точка такая, что выполняется равенство f(x)-f(x₀)

f(x)

f(x₀)

a

b

Точка будет зависеть отx:, т.е. выбирается какое то одно значение ξ в (x₀,x). Итак,x₀<ξ(x)<x. Отсюда следует, что ξ(x)приx+0. Следовательно, определена сложная функцияf’() и

По правилу вычисления предела сложной функции имеем

Следовательно,

А=

(Коши).

Пусть функции f и g

1. непрерывны на отрезке [a,b];

2. дифференцируемы на интервале (a,b);

3. производная g’во всех точках интервала (a,b).

Тогда существует такая точка

.

Доказательство.g(b), иначе потеореме Роллядля функцииg(x) существует точка ξ𝟄(a,b) такая, что g’(ξ)=0.

Рассмотрим функцию F(x)=f(x)-λg(x). Параметр λ подберем так, чтобыF(a)=F(b):

f(a)-λg(a)=f(b)-λg(b), следовательно

λ=

Итак, функция Fудовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, поэтому существует точка ξ𝟄(a,b) такая, что F’(ξ)=0. Отсюда f’(ξ)-λg’(ξ)=0 и