10.Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Свойство 1.Если последовательности исходятся, то сходится последовательностьи

Доказательство. По свойству (Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы существовали числои бесконечно малая последовательностьтакие, что для всехвыполнялось равенство); 0 по свойству (Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) 

Свойство 2.Если последовательности исходятся, то сходится последовательностьи

Доказательство.Пусть. Тогдаипри. Поэтому

В силу свойств бесконечно малых последовательностей

Свойство 3.Если последовательности исходятся кисоответственно, то последовательностьсходится к

Доказательство.Так как(пусть для определенности), то посвойству(Если последовательность сходится к числу , то вся последовательность лежит вне окрестности нуля , начиная с некоторого номера.), начиная с некоторого номера. Поэтому определена последовательностьиРассмотрим для номеровцепочку равенств

Так как последовательность- бесконечно малая, а последовательностьограничена, то-бесконечно малая последовательность, следовательно последовательностьстремится к.

11. Теорема Кантора о вложенных отрезках.

Теорема. Пусть задана система вложенных отрезков на, т. е. таких, что и длины отрезков при. Тогда существует, и притом единственная, точка, одновременно принадлежащая всем отрезкам.

Доказательство.Возьмем любое. Ясно, что для любого(из вложенности системы отрезков, см. рис.)

Рассмотрим последовательность левых концов отрезков системы . Она монотонно возрастает и ограничена сверху, например, числом. Тогда, поVсвойству действительных чисел, существует число (точка)такое, чтои для любого. В частности, причто означает, что. Так какnбыло взято произвольным, то точкаcпринадлежит всем отрезкам. Найденная точка единственная, так как, если существуети для любого, то для любогоnвыполняются неравенства, что противоречит тому, чтопри.

Замечание 1. , т.е. последовательностьлевых концов отрезков, возрастая, стремится к точке, а последовательностьправых концов отрезков, убывая, стремится к. Действительно,

Замечание 2. Во множестве рациональных чисел такого свойства, вообще говоря, нет. Например, пусть, а. Ясно, что эта последовательность отрезков удовлетворяет условиям теоремы Кантора, но общая единственная точка-- иррациональное число, следовательно, во множестве рациональных чиселобщих точек у рассматриваемой системы отрезков нет, т. е.

Замечание 3. То, что в теореме Кантора речь идет о системе отрезков (а, например, не интервалов), существенно. Достаточно рассмотреть систему интервалов Ясно, чтов

12.Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел Последовательность,гденазываетсяподпоследовательностью последовательности . Таких подпоследовательностей из заданной последовательности можно выделить бесконечно много.

Пример.Последовательность есть подпоследовательность последовательности

Очевидно, имеет место Теорема.Если последовательность сходится к некоторому пределу, то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же пределу.

Пример.Последовательностьрасходится, так как две ее подпоследовательностиисходятся к разным числам.

Выделение подпоследовательностей у последовательности , сходящихся к разным числам, есть один из методов доказательства ее расходимости. Ответ на вопрос: "Во всякой ли последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность'', дает следующая фундаментальная теорема.

Теорема(Больцано - Вейерштрасса).Из всякой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому действительному числу.

Доказательство(метод Больцано). Так как последовательностьограничена, то существует числотакое, что. Разделим отрезокна два равных отрезка и обозначим черезкакой-нибудь из них, содержащий бесконечно много элементов из, пусть. Далее разделим отрезокна два равных отрезка и обозначим черезкакой-нибудь из них, содержащий бесконечно много элементов из. Тогда найдется элементи. Процесс деления отрезка пополам, выбора одной из половин отрезка и элемента в ней продолжим по индукции. Итак, построена система вложенных отрезкови последовательностьтакая, что для любоговыполняетсяи. Тогда по теореме Кантора о вложенных отрезках существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам, и. Переходя к пределу пов неравенствах, получим.