15. Принцип Бореля-Лебега.

Определение. Говорят, что система множеств S = {X} покрывает множество Y , если любой y∈Y содержится, по крайней мере, в одном из множеств X, т.е. Y⊂∪X.

Теорема.В любой системе интервалов, покрывающих отрезок [a, b], имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Доказательство.Пусть S = {U} есть система интервалов U, покрывающих отрезок [a,b] = I₁. Если I₁нельзя покрыть конечным числом интервалов U, то поделим I₁ пополам и выберем из двух отрезков тот, который не покрывается конечным числом интервалов U. Обозначим этот отрезок I₂. Продолжая этот процесс, получим последовательность I₁, I₂, . . . , I_n, . . . , причем длина отрезка I_n (обозначим ее |I_n|) равнаПо теореме Кантора о вложенных отрезках существует точка c∈I_nдля любого n. Элемент c принадлежит также интервалу U = (α, β) из системы S. Пусть теперь ε = min (c − α, β − c) и |I_n| < ε. Тогда I_n⊂(α, β). Но это противоречит тому, что отрезок I_nнельзя покрыть системой интервалов {U}.

Замечание.Из доказательства видно, что принцип Бореля-Лебега вытекает из принципа Кантора о вложенных отрезках. Можно показать, что принцип Кантора является следствием теоремы Принцип Бореля-Лебега. Такие утверждения называются эквивалентными.

16.Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки у ограниченного числового множества.

Определение. Окрестностью точки x₀∈R называется интервал, содержащий эту точку; δ-окрестностью (или окрестностью радиуса δ) точки x₀ называется интервал

(x₀− δ, x₀+ δ).

Определение.Точка x₀называется предельной точкой множества X⊂R, если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество множества X.

Определение.Точка x₀называется предельной точкой множества X⊂ R, если любая окрестность этой точки содержит, по крайней мере, одну точку множества X, не совпадающую с точкой x₀.

Пример.Пусть множество X есть интервал (1, 3). Все его предельные точки образуют отрезок [1, 3]. Предельные точки отрезка дают сам этот отрезок.

Определение.Множество всех предельных точек множества X обозначается X′ и называется производным множеством.

Теорема.Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Доказательство.Пусть X - бесконечное ограниченное множество чисел из R. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке [a, b]. Обозначим отрезок [a, b] через σ₀и покажем, что существует, по крайней мере, одна точка x₀∈[a, b], которая является предельной для X. Разделим отрезок σ₀на два равных отрезка и обозначим через σ₁= [a₁, b₁] любой из них, содержащий бесконечное подмножество чисел множества X (по крайней мере, один из них обязательно содержит такое бесконечное подмножество). Теперь σ₁разделим на два равных отрезка и обозначим через σ₂= [a₂, b₂] любой из них, содержащий бесконечное подмножество чисел множества X. Рассуждая по индукции, получим последовательность вложенных друг в друга отрезков σ_n= [a_n, b_n] (n = 0, 1, 2, . . . ), длины которыхстремятся к нулю. Согласно принципу Кантора о вложенных отрезках существует точка x₀, принадлежащая всем σ_n. Очевидно, что x₀есть предельная точка множества X.