Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика производные и пределы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

РЕШЕНИЕ:

Произведем деление числителя и знаменателя получившейся дроби на n2 - наибольшую степень n .

lim n 6 n + 5 32n10 +1 = lim

−5 / 6

5 32 +

n10

= 2.

(1 + n−3 / 4 )3 1 − n13

n→∞

(n +

n )

−1

n→∞

Вычислите предел числовой последовательности

lim

(

n2 +

)(

)

−

n6 −3n3 +

n→∞

РЕШЕНИЕ:

lim

(n2 +5)(n4 + 2)−

n6 −3n3 +5

n→∞

домножим на сопряженную величину

n6 −3n3 +5)

(

n6 −3n3 +5) (

=lim

(n2 +5)(n4 +2)−

(n2 +5)(n4 +2)+

(n2 +5)(n4 +2)+ n6 −3n3 +5)

n→∞

воспользуемся формулой разности квадратов

= lim

(

n2 +

)(

n4 +

)

−

(

−3n3

)

n→∞

(n2 +5)(n4 + 2)+ n6 −3n3 +5 )

приведем подобные

= lim

(n6 +5n4 + 2n2 +10)−(n6 −3n3 +5)

n→∞ n( n6 +5n4 + 2n2 +10 + n6 −3n3 +5 )

= lim

5n4

+3n3 + 2n2 +5

n→∞ n( n6 +5n4 + 2n2 +10 + n6 −3n3 +5 )

делим на старшую степень n4

5 + n

5 .

= lim

n→∞

1 +

+ 1−

+5n

Вычислите предел: lim

n +1 − 3 n2 −1

+1 +

1+n

n→∞

РЕШЕНИЕ:

Выражение представляет неопределенность типа ∞ .

∞

Преобразуем подкоренные выражения, выделив

возрастающие множители:

n +1 n = n 1 + 1

n +1 =

= n2 1 +

3 n2 −1 =

3 n2 3 1 −

= n

3 1 −

n3 +1 = n3 1 +

= n2

1 +

4 1 + n = 4 n 4 1 +

= n4 4 1 + 1 .

Выносим в числителе и знаменателе старшие

степени:

−

3 1−

n +1 − 3 n2 −1

lim

= lim

n→∞

n3 +

1 + 4 1+n

n→∞

−1

= lim

= 0.

n→∞

Вычислите предел числовой последовательности

limn→∞ (n2 −

n2 +n ).

РЕШЕНИЕ:

В этом примере мы имеем дело с неопределен-

ностью типа (∞ − ∞) , т.к.

→ ∞ и

+ n → ∞ при

n → ∞.

Эту неопределенность можно устранить или превра-

∞

тить в неопределенность типа

∞

, вынося за скобку

∞

старшую степень или домножая на сопряженное.

Способ 1:

)

n2 −

n2 +n

= lim n2

lim

1−

n→∞

(

n→∞

Выражение в скобках стремится к единице, а n2 → ∞. Отсюда следует, что

lim n

−

= ∞.

n→∞

Способ 2:

(n2 − n2 +n )(n2 + n2 +n )

limn→∞ (n

−

+n )= limn→∞

(n2 +

n2 +n )

−n

1−

−

= lim

= lim n2

=∞.

+n )

n→∞

Вычислите предел lim

cos(n2 )

n +1

РЕШЕНИЕ:

n→∞

Последовательность

cos(n2 )

есть

произведение

n +1

двух

последовательностей

{cos(n2 )}

из

n +1

которых

первая

ограниченная,

вторая

бесконечно малая. Следовательно,

lim

cos(n2 )

= 0 .

n +1

n→∞

Вычислите предел lim

10n +5n+1

7n +5n

РЕШЕНИЕ:

n→∞

10n +5n+1

10n

lim

= lim

7n 1+

n→∞

∞

Последовательность

бесконечно большая,

т.к.

>1. Следовательно,

lim

=∞.

n→∞

Вычислите предел lim

(n +1)!+ n!

(n +2)!+

(n +3)!

РЕШЕНИЕ:

n→∞

В этом примере мы опять имеем дело с

неопределенностью

∞ .

∞

Расписываем факториалы по формуле n! =1 2 3 ... n

lim

(n +1)!+ n!

n→∞ (n + 2)!+ (n + 3)!

= lim

1 2 3 ... n (n +1) +1 2 3 ... n

2 3 ...

(n + 2) (n + 3)

n→∞ 1 2 3 ... (n +1) (n + 2) +1

= lim

1 2 3 ... n (n +1 +1)

= lim

n! (n + 2)

n→∞ 1 2 3 ... (n + 2) (1 + n + 3)

n→∞ (n + 2)! (n + 4)

= lim

n + 2

= 0 .

(n +1) (n +

2) (n +

n →∞

Вычислите предел числовой последовательности

n!+(n + 2)! lim ( ) ( ) . n→∞ n −1 !+ n + 2 !

РЕШЕНИЕ:

(

)(

))

lim

n! (n

2)!

= lim

n + 2

n! 1 +

(

)

(

n +

)

! n→∞

(

n −

)

(

+ n

(

n +

)(

))

n→∞

n −1 !+

1 !

= lim

n(1 + n2 +3n + 2)

= lim

n3 +3n2 +3n

=1.

n→∞ 1 + n3 +3n2 + 2n

n→∞ n3 +3n2 + 2n +1

Вычислите предел числовой последовательности

lim

2 + 4 +... + 2n

n +3

− n .

n→∞

РЕШЕНИЕ:

Числитель дроби представляет собой сумму n

первых членов арифметической прогрессии, которая

равна

-2

Sn =

a1 + an

n = 2 + 2n

n = (1 + n)n, поэтому

2 + 4 +... + 2n

(1+ n)n

lim

−n

= lim

− n

n +3

n→∞

= lim

−2n

= −2.

n→∞ n +3

Вычислите предел lim

1 −n

1−

n→∞

РЕШЕНИЕ:

−n

n n

n−1+1

1−

−1

n −1

n−1

= 1+

n −1

−1

Тогда

−n

n−1

= e .

lim

1−

= lim 1+

lim

n −1

−1

n→∞

Вычислите предел числовой последовательности

+ 4n −1

1−2n

lim

+ 2n +3

n→∞

РЕШЕНИЕ:

4n2 +4n −1 1−2n

выделимединицу

∞

limn→∞

= 1

воснованиистепени

4n2 +2n +3

2n − 4

1−2n

= lim

+ 2n +

n→∞

4n2 +2n+3

2n−4

(1−2n)

2n − 4

2n−4

4n2 +2n+3

= lim

+ 2n +

n→∞

4n2 +2n+3

2n−4

(1−2n)

4n2 +2n+3

2n − 4

2n−4

= limn→∞

+ 2n +3

=по известному пределу последовательности = основание степени равно числу e

				2n−4		(1−2n)
= lim e4n2 +2n+3						(1−2n)		=
= lim e4n2 +2n+3								=
n→∞
	ниже будет доказано, что в силу свойств
	ниже будет доказано, что в силу свойств
=	функции ex (непрерывность функции)										=
	это выражение можно записать в виде
= e		lim	2n−4		(1−2n)		= e		−1	.
		lim			(1−2n)
		n→∞ 4n2 +2n+3
		n→∞ 4n2 +2n+3
										95

n +1 n 2

Вычислите предел

lim

РЕШЕНИЕ:

n→∞ n + 2

n 2

−

− n

n + 1

( n + 2 )

n + 2

lim

= lim

1 −

n + 2

→ ∞

n → ∞

n + 2

−(n+2)

lim

1−

= e .

n→+∞

n +2

Таким образом, в последовательности

−( n +2 )

− n 2

1 −

n +2

основание стремится к e, а

n + 2

последовательность −

расходится и

n + 2

−

→ −∞ при n → +∞ . Таким образом, получаем

n + 2

+ 1 n 2

= e

−∞

= 0 .

lim

+ 2

n → ∞ n

2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

№

Задание

Ответ

Докажите, что lim

15x2 −2x −1

= 8 (найдите δ (ε )).

x −1/ 3

РЕШЕНИЕ:

x→1/ 3

По определению предела функции:

А= lim f

(x)

ε > 0 δ (ε )

> 0 x

x→a

(0 <

x − a

<δ

f (x)− А

<ε ).

f (x)− А

15x2 − 2x −1

−8

15x +3 −8

x −1/ 3

δ (ε)= 5 .

15x −5

=15

x −1/ 3

1). Возьмем произвольное ε > 0.

2). Положим δ (ε )=

3). Возьмем x X . Тогда если(0 <

x −a

< δ ), то

(0 <

x − a

<δ ) (

f (x)− А

< ε ), что и требовалось

доказать.

+ 4

x+2

Вычислите предел lim

x→0 x

РЕШЕНИЕ:

+ 4

x+2

lim

2 .

x→0 x

Вычислите предел lim

x3 −4x2 −3x +18

−5x2 +

3x + 9

x→3

РЕШЕНИЕ:

−

4x2 −3x +18

lim

x3 −5x2 + 3x + 9

x→3

Так как число 3 является корнем числителя и

знаменателя, поделим числитель и знаменатель на

x −3.

x3 −4x2 −3x +18

x −3

x3 −3x2

x2 −x −6

−x2 −3x

−x2 + 3x

−6x +18

x3 −5x2 + 3x + 9

x −3

x3 −3x2

x2 −2x −3

−2x2 + 3x

−2x2 + 6x

−3x + 9

−4x2 −3x +18

= lim

x3 −5x2 + 3x +

x→3

(

)

(

)

x2 −x −6

x2 −x −

= lim

(x −3)

= lim

;

(

)

(

)

x→3 (x −

x→3

x2 −2x −

−2x −3

= { найдем корни квадратных трехчленов }=

= lim

(x −3)(x + 2)

= lim (x + 2)

= 5 .

x −3

x +1

x→3

(

x→3

(

x +1

)(

)

Вычислите предел lim

3 − 4

9 −

x→81

РЕШЕНИЕ:

Пусть t = 4 x . Тогда

lim

3 − 4

= lim

3 −t

= lim

−

9 −t2

3 + t

x→81

t→3

→3

Вычислите предел

lim

− x .

x→+∞

РЕШЕНИЕ:

Домножим и поделим на сопряженную величину:

(

x2 +1 − x)= (∞ − ∞)= lim

(

lim

x2 +1) −(x)2

x→+∞

x2 +1 + x

= lim

x2 +1 − x2

= lim

= 0.

1 + x

x2 +1 + x

x→+∞

Вычислите предел lim

x +13 −2

x +1

x2 −9

x→3

РЕШЕНИЕ:

Домножим числитель и знаменатель на величину,

сопряженную числителю:

x +13 −2 x +1

lim

x→3

−9

(

x +13−4

x +1

= lim

)

( x +13 + 2 x +1)3 x2 −9

x→3

lim

−3(x −3)

= 0.

8 x→3 3

(

x −3

x + 3

)(

)

Определите порядок малости α (x)= 3 x3

1 − x

относительно β (x)= x при x → 0 . РЕШЕНИЕ:

α (x)=	3 x	3	3	3
			= x2		,
	1− x			1− x

lim

α (x)

= lim

= 3 = const , откуда

x→0

(β (x))2

x→0 1− x

α (x) 3(β (x))

, т.е. порядок малости α (x)

относительно β (x)= x при x → 0 равен

Докажите,

что

α (x)− β (x)

имеет

второй

порядок малости относительно x при x → 0 ,

если α (x)=1/ (1 + x), β (x)=1 − x .

РЕШЕНИЕ:

1− 1− x

)

α (x)− β (x)=

−(1− x)=

(

1+ x

lim

α (x )− β

(x )

= lim

1 , α

(x)− β (x) x2

1 + x

x→0

при x → 0 .

Вычислите предел lim tg x .

x→0

Применим первый замечательный предел:

lim

tgx

= lim

sin x

x→0

cos x

= lim sin x

lim

=1.

cos x

cos 0

x→0

Докажите соотношение: lim

loga (1 + x)

где

ln a

x→0

a > 0, a ≠1.

РЕШЕНИЕ:

loga (1 + x)

ln (1 + x)

lim

= lim

x ln a

x→0

lim

ln (1 + x)

lim ln

(1 + x)

ln a x→0 x

ln a x→0

ln lim (1

+ x)

ln e =

ln a

→0

ln a

Докажите соотношение: lim

−1

= ln a .

РЕШЕНИЕ:

x→0

Заменим переменную:

ax −1 = y,

ax =1+ y, x = loga (1+ y),

lim y = lim

(

ax −1 = 0, (см. предыдущее упр.)

x→0

)

lim

−1

= lim

= ln a .

loga (1+ y)

x→0

y→0

Докажите соотношение: lim

(1 + x )a −1

= a .

РЕШЕНИЕ:

→0

Сделаем замену переменных (1+ x)a

= et . Тогда .

lim (1 + x)

−1 = lim

−1

= lim

= a .

x→0

t→0

−

Докажите соотношение: lim

1+ x −1 =

1 .

РЕШЕНИЕ:

x→0

(

1 + x −1)(

1 + x +1)

lim

1 + x −1

= lim

(

)

x→0

1 + x +1

= lim

1 + x −1

= lim

= 1 .

(

)

x→0

1 + x +

x→0

Вычислите предел lim

arcsin (x /

1 − x2 )

ln (1 − x)

x→0

РЕШЕНИЕ:

Используя ряд эквивалентных бесконечно-малых

при x → 0 , можно записать:

arcsin

x , ln (1− x) (−x);

1− x2

lim

arcsin

(x / 1− x2 )

= lim

= −1.

ln (1− x)

−x

x→0

Вычислите предел lim

xsin 2x

x→0 1+cos(x −3π )

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025613 Кб1Математика заочники.doc
#
23.02.201522 Кб13Математика и Физика экзамен.docx
#
01.07.20252 Мб1математика Матвеева Любовь.docx
#
23.02.20158 Мб13Математика методичка №2.pdf
#
01.05.20251 Мб1математика надо делать с 1-10[1].doc
#
23.02.20155 Мб54Математика производные и пределы.pdf
#
23.02.2015245 Кб15МАТЕМАТИКА Ч1.3 Практ.pdf
#
23.02.2015289 Кб13МАТЕМАТИКА Ч1.7,8 ФормулыБибл.pdf
#
30.04.2019249 Кб7математика экзамен.docx
#
13.03.20165 Мб44Математика_2_2015.pdf
#
22.02.20152 Мб17Математика.doc