Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика производные и пределы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

РЕШЕНИЕ:

lim

xsin 2x

= lim

xsin 2x

= lim

xsin 2x

1+cos (x −3π )

x→0

1−cos x

x→0

2sin

2 x

x 2x

= lim

= 4.

x→0

Вычислите предел lim cos 3x −cos x .

РЕШЕНИЕ:

x→π

tg2 2x

x = t + π

lim cos 3x −cos x =

x→π

tg2 2x

t →0

cos

3t + 3π

−cos

+ π

)

= lim

(

)

(

(2t

+ 2π)

x→π

= lim

1−cos3t

)

(

cost −1

−cos3t + cost = lim (

) =

t→0

tg2 2t

t→0

tg2 2t

2sin

2 3t

−

2sin

−2

= lim

=1.

tg2 2t

t→0

4t2

Вычислите предел lim

23x

−35x

РЕШЕНИЕ:

x→0 sin 7x −2x

−1

5 x

−1

3ln 2 −5ln 3

5 x

− 3

−

= lim (

)

(

) =

lim

sin 7x −2x

x→0

= lim

3x ln 2 −5x ln 3

3ln 2 −5ln 3

x→0

7x −2x

sin

Вычислите предел

lim

РЕШЕНИЕ:

x→π

2 sin x+1 −

(t +π )2

sin

= t +π

sin

ln 2

lim

t = x −π

= lim

x→π

sin x+1 − 2

t → 0

t→

0 2 −sin t +1 − 2

101

sin

+2t + t

2t + t

−sin

= lim

(

−sin x +1 −1)2 ln 2

sin t

t→0

−

2 ln

2t +

= lim

t ln 2

ln 2

t→0

Вычислите предел lim

ex −e

(

)

x→1 sin

x2 −1

РЕШЕНИЕ:

x = t +1

lim

ex −e

= lim

et+1 −e

sin

−1

t →0

x→1

sin((t +1)

−1)

(

)

et −1

= lim

(

)

= lim

(

)

t→0

→0 t(t + 2)

sin t2 + 2t

sin2 x

+ x

Вычислите предел lim

x→0

+ x 5

РЕШЕНИЕ:

1+ x2 2x

sin2 x

lim

= lim 1+

x −1

x→0

+ x

x→0

+ x

−5

sin2 x

)

= lim 1

1+ x

x→0

1+x2 5

x2 (2x −5x )

−5

(

2x −5x

)

1+x2 5x

sin2 x

)

= lim 1

x→0

1+ x

x2(2x−5x )

(2x−5x )

lim

= lim e 1+x2 5x

sin2 x

1+x2 5x

sin2 x

= ex→0

x→0

(2x−5x )

lim

x(ln 2−ln5)

= e0 = 1.

= ex→01+x2 5x = ex→0 1+x2 5x

2x −1

ln(3+2 x)

ln(2−x)

Вычислите предел lim

x→1

102

РЕШЕНИЕ:


2x −1	ln(3+2x)				x = t +1

	ln(2−x)		∞
lim		= 1		=		=
lim		= 1		=		=
x→1 x					t →0
x→1 x					t →0

ln(3+2(t+1))

(

)

(

))

−1

2− t+1

= lim

t→0

t +1

ln(2t+5)

ln(1−t)

= lim

= lim 1

t→0

t +1

t+1 t

ln(2t+5)

t+1

ln(1−t)

t+1

ln(1−t)

= lim 1+

= lim e

t→0

t +1

t→0

ln 5

(

)

+ln 1+

2t+5

( )

lim

ln(1−t)

= e t→0 t+1

= e t→0 t

−t

= e −ln5 = 15 .

Вычислите предел lim e2 x −e x+1 . x→1 x −1

РЕШЕНИЕ:

2 x

x+1

x = t

2+2t

−e

2 2+t

−e

lim

= lim

x→1

x −1

t →0

t→0

(

−1

2+t

)

= 4e .

= lim

t→0

3. ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

№	Задание		Ответ
	Найдите область определения и множество
43	значений функции f (x)=	4x − x2 .
43	ООФ находим из условия 4x − x2 ≥ 0 ,		x [0, 4],
	ООФ находим из условия 4x − x2 ≥ 0 ,
	x(x − 4)≤ 0 x [0, 4].
	x(x − 4)≤ 0 x [0, 4].		y [0, 2]

103

y ≥ 0,

ОЗФ находим из условий: x2 − 4x + y2 = 0.

Допустимые значения параметра y

удовлетворяют неравенствам:

− y

≥ 0,

≤ 2,

D ≥ 0,

y [0, 2].

y ≥ 0

≥ 0

y ≥ 0

Изобразите график функции

−1,

если − 2 ≤ x < −1;

f (x) =

1 − x2 ,

если

−1 ≤ x

<1;

−1,

если

1 ≤ x

< 2.

РЕШЕНИЕ:

На полуинтервале [-1, 1) функция

имеет вид смещенной параболы,

-2 -1

1 2

ветви которой направлены вниз.

-1

Вне этого полуинтервала

f (x)=

−1,

т.е. y =

- опущенный на 1 вниз

стандартный график.

Изобразите график функции

1, x > 0,

y = sgn x - знак x , sgn x = 0, x = 0,

−1, x < 0,

{x}={x : −∞ ≤ x ≤∞}, {y}={−1,0,1}

Функция y =[x]- целая часть x

(наи-большее целое, не превосходящее x )

46D ( f )={x} ={x : −∞ ≤ x ≤ ∞},

E ( f )={y} ={y :целыечисла};

эта функция может быть задана в виде

104

...

x [1;2),

[x]=

x [0;1), .

−1 x [−1;0),

...

Найдите g (x), если

f (x)=

2x −3

g (f (x))= x . Вычислите g (

5).

+ 3 ;

g (x)=

f (x)=

2x −

3 =

x =

2 ;

2x −3

f (x)

2 f (x)

g (5)=1,6 .

g (f (x))

+ 2

значит,

g (x)=

;

2 f (x)

g (5)=1,6 .

Вычислите односторонние пределы функции

y =

x −1

в точке x = 1.

x −1

В точке x = 1 функция не определена,

потому что знаменатель равен нулю. По

определению модуля

x −1

x −1,

если x ≥1;

−(x −1),

если x <1.

lim 1 = ±1

Левый предел:

x −1

(

)

x → 1 ± 0

lim

= lim −

x −1

= − lim 1 = −1.

x −1

x→1−0

x −1

x→1−0

Правый предел:

lim =

x −1

= lim

x −1

= lim 1 =1.

x −1

x→1+0

x −1

x→1+0

Односторонние пределы конечны, но не равны

друг другу, функция имеет в точке x = 1

разрыв 1-го рода.

Установите, какого рода разрыв в точке х = 0

имеет функция

f (x)= tgx .

РЕШЕНИЕ:

В теории пределов был доказан 1-й

105

замечательный предел lim sin x =1,

x→0

следствием которого является предел

lim tgx =1. В самой точке х0 = 0 функция не

точка

x→0

устранимого

определена. Следова-тельно, выполняется

разрыва

определение точки устра-нимого разрыва.

Вычислите односторонние пределы lim 7

2−x

x→2±0

РЕШЕНИЕ:

−lim

= 7−∞ = 0 ,

lim 7 2−x

= lim7 −α

= 7

lim 72−x =

α→0

x→2+0

α→0

x→2±0

∞.

lim

= 7∞ = ∞ .

lim 7 2−x

= lim 7α

= 7α→0

x→2

−0

α→0

Функция имеет в точке x =2

разрыв 2-го рода.

Докажите (найдите δ (ε )), что функция f (x)

непрерывна в точке x , если

f (x)= 5x2 +5,

x0 = 8.

РЕШЕНИЕ:

По определению непрерывности требуется

доказать, что lim f (x)= 5 82 +5 = 325.

x→8

По определению предела требуется доказать,

что

(ε)> 0 x :

ε > 0 δ

< ε ).

(0 <

x −a

< δ (ε)) (

f (x)− А

1). Возьмем произвольное ε > 0.

2). Так как

f (x)− А

5x2

+ 5 − 325

5x2 − 320

x2 −64

, то из

x2 −64

<ε

получим

δ (ε)= min 1,

3). Тогда если

( 0 <

x −a

< δ (ε )), то

f (x)− A

= 5

x −8

x +8

< 5 δ (ε ) 9 <ε, ч.т.д.

Определите точки разрыва функции

если 0 ≤ x ≤1;

и исследовать

разрыв 1-го рода

f (x) =

2x +3,

если 1 < x ≤ 2

106

характер разрыва. РЕШЕНИЕ:

Функция имеет различный вид на отрезке [0, 1] и полуинтервале (1, 2], поэтому точка х = 1 может быть точкой разрыва.

Левый предел:		lim	f (x) = lim x2 =12 =1.
		x→x0 −0	x→x0 −0
Правый			предел:
lim f (x) =	lim (2x +3) = 2 1+ 3 = 5.
x→x0 +0	x→x0	+0

Односторонние пределы существуют и не равны друг другу. Следовательно, точка х = 1 является точкой разрыва 1-го рода.

	Определите точки разрыва функции
	1
	f (x)= 2 x и исследуйте их характер.
	РЕШЕНИЕ:
	Функция не определена, следовательно,
	разрывна в точке х = 0.
	Вычислим левый предел, учитывая, что
	показательная функция y = ax, a > 1,
	стремится к нулю при х → - ∞. Кроме того,
	функция
	y = 1/x является бесконечно большой,	х = 0 – точка
53	потому что х→0 и х < 0. Итак, lim 21 x = 0.	х = 0 – точка
	x→0−0	разрыва 2-го рода.
	Вычислим правый предел, учитывая, что
	показательная функция y = ax, где a > 1,
	стремится к бесконечности при х → +∞.
	Кроме того, функция является бесконечно
	большой, потому что х→0 и х > 0. Итак,
	lim 21 x = +∞.
	x→0+0
	Поскольку правый предел бесконечен по
	определению, то точка х = 0 является
	точкой разрыва 2-го рода.

	Установите, какого рода разрыв в точке х =
54	0 имеет функция	устранимый разрыв
54	f (x)= arctgx	устранимый разрыв
	f (x)= arctgx
	sin x

107

	РЕШЕНИЕ:
	lim	arctgx = lim					x	=1.
	lim	arctgx = lim					x	=1.
	x→0±0	sin x				x→0±0	x
	Односторонние					пределы			существуют	и
	равны друг другу. Следовательно, точка х =
	1 является точкой устранимого разрыва,
	устранить который можно, доопределив
	функцию:			f (0) =1.

	Имеет ли корень уравнение
	sin x − x +1 = 0 ?
	РЕШЕНИЕ:
	Рассмотрим функцию
	f (x)=sin x − x +1, которая непрерывна на
	всей числовой оси, поскольку является
55	суммой непрерывных на числовой оси										да
	функций y = sin x и y = −x +1. Легко
	установить, что функция меняет знак,
	поскольку			f (0)=1, а			f (2π )= −2π +1 < 0 .
	Следовательно, функция равняется нулю
	внутри отрезка [0, 2π], то есть имеется по
	крайней мере один корень исходного
	уравнения.

	Исследуйте поведение функции
	f (x)=		sin x		в точке x			= 0 .
	f (x)=				в точке x			= 0 .
			x				0
			x
	РЕШЕНИЕ: В точке x0							= 0 функция не
	определена,
56	lim sin x = lim sin x =1								x = 0
	lim sin x = lim sin x =1								x = 0
	x→+0			x		x→−0 x			0
	x→+0			x		x→−0 x
	является точкой устранимого разрыва.
	Чтобы функция стала непрерывной в
	точке x0 = 0 , положим							f (0)= lim f (x)=1.
									x→0

108

Принимает

ли

функция

f (x) =

−sinπx +3

значение

2 1

внутри

отрезка [-2, 2]?

РЕШЕНИЕ:

Функция является непрерывной на [-2,

2]. Кроме того, на концах отрезка функция

да

принимает числовые значения f (-2)=1,

f (2) = 5.

Так как 1 < 2 1

< 5, то найдется точка c (-

= 2 1

2, 2) такая, что

f (c)

Найдите

функцию,

обратную

функции

f (x)= (x +1)2

при x ≤ −2 .

РЕШЕНИЕ:

y = (x +1)2 , x (−∞, −2], y [1, ∞).

При x ≤ −2 функция y = (x +1)2 монотонно

убывает, значит, существует обратная.

f −1 (x) = − x −1

Выразим x через y , учитывая, что y > 0 .

x [1, ∞)

Получим:

−x −1

≤ −2

x ≤ −2

x = − y −1. Поменяем местами x и y .

f −1 (x) = − x −1, x [1, ∞),

f −1 (x) (−∞, −2].

109

Область определения и область значений исходной и обратной функции меняются местами. Графики функций симметричны относительно прямой y = x .

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025613 Кб1Математика заочники.doc
#
23.02.201522 Кб13Математика и Физика экзамен.docx
#
01.07.20252 Мб1математика Матвеева Любовь.docx
#
23.02.20158 Мб13Математика методичка №2.pdf
#
01.05.20251 Мб1математика надо делать с 1-10[1].doc
#
23.02.20155 Мб54Математика производные и пределы.pdf
#
23.02.2015245 Кб15МАТЕМАТИКА Ч1.3 Практ.pdf
#
23.02.2015289 Кб13МАТЕМАТИКА Ч1.7,8 ФормулыБибл.pdf
#
30.04.2019249 Кб7математика экзамен.docx
#
13.03.20165 Мб44Математика_2_2015.pdf
#
22.02.20152 Мб17Математика.doc