Математика производные и пределы

1.6. Производная сложной функции Теорема

Если 1) y = f [ϕ(t)] - сложная функция, t - независимая переменная, x =ϕ (t) - промежуточный аргумент; 2) существуют y′(x0 )= f ′( x0 ) и

лось доказать.

51

Независимой переменной была t , промежуточным аргументом - x . На практике чаще имеем дело с функциями вида: y = f (u), u =ϕ(x) , тогда

yx′ = yu′ux′.

ПРИМЕР. Найдем производную степенной функции y = xα .

Запишем функцию в виде экспоненты y = xα = eα ln x . Вычислим производную по правилу дифференцирования сложной функции.

1.7. Таблица производных

Таблица получена, исходя из определения производной и правил дифференцирования.

52

15.(cthx)′ = sh12 x . Гиперболический котангенс cthx = chshxx

1.8.Логарифмическая производная

При вычислении производной некоторых выражений полезно предварительное логарифмирование этого выражения.

Логарифмической производной называется результат дифференцирова-

y′ ={2xln(sin x) + x2 ctg x}(sin x)x2 .

2. Логарифмическая производная применяется для вычисления производной произведения большого числа сомножителей.

53

функцию аргумента x , а затем полученное уравнение F1 (x, y(x), y′(x))= 0 разрешить относительно y′(x).

Если x(t), y(t) - дифференцируемые в своей области определения функции,

а x = x(t) имеет обратную функцию t = t(x), у которой существует производная

54

ПРИМЕР

Найдем производную yx′ функции, заданной параметрически x =t2 , y = t3.

Производной n -го порядка (или n–й производной) называется производная первого порядка от производной (n −1)-го порядка: f (n) (x) = (f (n−1) (x))′.

Также используют обозначение y(n) (x) = d n y . dxn

ПРИМЕРЫ

1)y = sin x, y′ = cos x, y′′ = −sin x, y′′′ = −cos x .

2)y = xn , y′ = nxn−1 , y′′ = n(n −1)xn−2 ,…, y(n) = n!, y(n+1) = 0 .

Правила вычисления производной n–го порядка

1.[f (x) + g(x)](n) = f (n) (x) + g(n) (x) .

2.Формула Лейбница (производная произведения):

n по k , k! (читается k -факториал) определен для целых неотрицательных k ,

причем (k +1)! = (k +1) k!, 0! =1! =1.

ПРИМЕР. Найдите производную n–го порядка от функции y = eax x2 . y = f (x) g (x), f (x) = eax , g (x) = x2 .

g( n ) ( x ) = 0.

Таким образом, в формуле Лейбница всего 3 ненулевых члена.

55

Вычисляем коэффициенты:

y(n) (x)= aneax x2 + nan−1eax 2x + n(n −1)an−2eax 2 . 2

1.12. Вторая производная от функции, заданной неявно

Рассмотрим функцию y = y(x), определяемую уравнением F (x, y) = 0 . Для отыскания второй производной соотношение F (x, y) = 0 дифференцируем два раза по переменной х, считая y функцией x , и выражаем y′′ как функцию

1.14. Механический смысл второй производной

Пусть S = f (t) - закон движения тела, движущегося поступательно. Скорость тела V (t ) в данный момент времени: V (t )= f ′(t) . Если движение неравномерно, то для приращения времени ∆t приращение скорости составляет∆V .

56

Тогда ∆∆Vt - среднее ускорение тела за промежуток времени ∆t . При ∆t → 0

получим ускорение в данный момент времени t :

=V ′(t) .

Таким образом, a (t )= f ′′(t) - ускорение прямолинейного движения равно вто-

рой производной от перемещения по времени. ПРИМЕР. Если S (t )= gt22 , V (t) =S '(t )= gt , a (t )= g .

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

2.1.Основные определения

Если функция y = f (x) - дифференцируема на (a,b), то для любо-

чина более высокого порядка, чем ∆x .

Главная, линейная по ∆x часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке x и обозначается dy = f ′(x) ∆x .

2.2. Дифференциал независимой переменной

Пусть y = x . Тогда ∆y = ∆x, y′ = (x)′ =1, dy = dx = ∆x .

Вывод: дифференциал независимой переменной равен ее приращению, dx = ∆x . В общем случае: dy = f ′(x)∆x = f ′(x)dx .

dy = f ′(x)dx .

Производная может быть записана как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного (обозначения Лейбница): f ′(x) = dydx .

57

2.3. Свойства дифференциалов

Поскольку дифференциалы функций вычисляются по основной формуле dy = y′(x) dx , то справедливы обычные правила дифференцирования.

1.d (c) = 0 ;

2.d (u ± v) = du ± dv;d (u ± c) = du ;

3.d (uv) =udv + vdu;d (uc) = cdu ;

чения, приведенные на рисунке, соответствуют:

функцией, график которой – касательная в точке (x0 , f (x0 )). Это возможно, так как ∆y и dy отличаются на бесконечно малую величину o(∆x).

Если x = x0 + ∆x , f (x) = f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + dy , то f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x .

ПРИМЕРЫ

1). Вычислите приближенно 4 15,8 .

Здесь y = 4 x , x0 =16 . Тогда y(16) = 4 16 = 2 ; y =(15,8) = y (16)+ ∆y .

Заменим ∆y ≈ dy = y′(x)∆x ; ∆x =16 −15,8 = −0,2 ; y′(x)= (x 14 )′ = 14 x14−1 = 14 x−3 4 ; y′(16)= 14 16−3 4 = 418 = 321 . Тогда y(15,8)= 2 + 321 (−0,2)= 2 −0,0062 =1,9938 .

58

2). Вычислите приближенно значение объема V шара радиуса r =1,02 м.

Так как V (r)= 43 π r3 , то, полагая r0 =1, ∆r = 0,02 , V ′(r)= 4πr2 и используя

формулу для ∆V , получаем:

V (1,02)=V (1)+ ∆V ≈V (1)+V ′(1) 0,02 = 43 π + 4π 0,02 4,44 м3.

2.6. Дифференциал сложной функции

Рассмотрим сложную функцию y = f [ϕ(x)]. Пусть u – промежуточный аргумент: y = f (u), u =ϕ(x) . yx′ = fu′ ux′, умножим это равенство на dx :

yx′dx = fu′ ux′ dx , dy = fu′du .

Сравнение с dy = fx′dx показывает, что дифференциал функции сохраняет свою

форму независимо от того, является ли ее аргумент x независимой переменной или функцией независимой переменной (промежуточным аргументом).

Это свойство называется свойством инвариантности (неизменности) формы первого дифференциала.

2.7. Дифференциалы высших порядков

Пусть y = f (x) - дифференцируемая функция, а ее аргумент x - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f ′(x)∆x = f ′(x)dx также является функцией x , от которой в свою очередь можно найти дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции f (x) называется дифференциал ее дифференциала при фиксированном dx .

d 2 f (x) = d(df (x)) = d( f ′(x)dx) = dx d( f ′(x)) = dx f ′′(x)dx = f ′′(x) (dx)2 =

Можно показать, что d n f (x) = f (n) (x)dxn. Здесь dxn = (dx)n.

1.Для независимой переменной d 2 x = 0, d 3 x = 0,…

2.В приведенных формулах предполагалось, что x - независимая переменная. Если x - промежуточный аргумент, то форма для второго дифференциала

будет другой, отличной от выражения d 2 f = f ′′(x)dx2.

Покажем это на примере второго дифференциала. Пусть y = f (x), x = g (t ), t - независимая переменная.

Тогда

d 2 f = d (df )= d ( f ′(x) dx)= d ( f ′(x)) dx + f ′(x) d (dx)=

59

= f ′′(x) dx2 + f ′(x) d 2 x = f ′′(x) (g′(t ))2 dt2 + f ′(x) g′′(t ) dt2 .

Таким образом, в случае сложной функции в выражении для второго дифференциала появляется дополнительное слагаемое; форма второго дифференциала

неинвариантна.

3.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА

3.1.Теорема Ролля (о нуле производной)

Теорема. Если

1)функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b],

2)на интервале (a,b) существует производная f ′(x) ,

3)значения функции на концах отрезка совпадают, f (a) = f (b) , то существует точка ξ (a, b), такая, что f ′(ξ) = 0 .

переходя к пределу x → 0 и рассматривая отдельно правый и левый пределы, получаем