Глава 3. Анализ колебаний в нелинейных цепях.

3.1 Нелинейные элементы цепей

1. Нелинейный элемент активного сопротивления – идеализированное устройство, рассеивающее эл. энергию, характеризуемое ур. связи U=R(i)i; i=G(U)U

R(i) Для анализа нелинейных цепей используют вольт-амперные

характеристики нелинейных активных сопротивлений. Вольт-

амперная характеристика элемента эквивалентна уравнению

связи. U=f(i); i=φ(U)

i(u)

u

Отношение U/i=f(i)/i=R(i) называют статическим сопротивлением, которое обычно определяют для фиксированных значений i=I₀ и U=U₀

Отношение i/U=φ(U)/U=G(U) – статической проводимостью

Рассматривая U(t)=f(i(t)) или i(t)=φ(U(t)) имеем для дифференциалов:

и

Для конечных приращений, в пределах которых вольт-амперную характеристику можно считать линейной, имеем:

и

где и-дифференциальные сопротивление и проводимость. В окрестности i=I₀, u=U₀ – это постоянные коэффициенты. Рассматривая конечные приращения в качестве колебаний можно для последних записать уравнения связи: и .

Дифференциальные сопротивления (проводимости) могут принимать как положительные, так и отрицательные значения (смотри рис.)

характеристика туннельного диода характеристика ионного прибора хар-ка типа N (стабиловольта) характеристика типа S

Нелинейные элементы активных сопротивлений являются, при определённых условиях, электровакуумных и п/п диодов, варисторов, стабиловольтов, баристоров и т.п.

Для линейного постоянного активного сопротивления имеем: U=f(i)=Ri. Откуда из R_ст=f(i)/i=R и R_диф.=df(i)/di=R. Т.е. статическое и дифференциальное сопротивления линейного постоянного активного сопротивления совпадают и равны R.

2. Элемент нелинейной индуктивности – идеализированное устройство, способное запасать энергию в форме магнитного поля. Уравнение связи элемента имеет вид:

L(i)

Уравнение связи можно представить в виде:

; - правая часть есть функцияi(t). Следовательно, это уравнение не пригодно для составления системы уравнений с помощью метода узловых напряжений - МУН.

Для анализа нелинейных цепей используют эквивалентную уравнению связи зависимость магнитного потока ψ(i) от тока i. Заметим, что ψ(i) =L(i)i.

Отношение называютстатической индуктивностью (определяемую, чаще всего для какого-то фиксированного I₀).

Величина - называетсядифференциальной индуктивностью. Для линейного постоянного элемента индуктивности значение L_стат и L_диф совпадают.

Вернёмся к уравнению связи.

; т.е.

Следовательно, если величина колебаний тока настолько мала, что в пределе участка характеристики последний может считаться линейным, уравнение связи является линейным

Элемент нелинейной индуктивности является хорошей моделью катушки индуктивности, имеющей магнитный сердечник с пренебрежимо узкой петлёй гистерезиса (гистерезис характеризует активные потери).

В отличие от дифференциального активного сопротивления, которое может принимать как положительные тaк, и отрицательные значения, дифференциальная индуктивность принципиально не может быть отрицательной поскольку увеличение тока через L не может приводить к уменьшению магнитного потока, т.е. L_диф>0

3. Элемент нелинейной ёмкости – идеализированное устройство, способное запасать энергию в форме электрического поля. Уравнение связи элемента имеет вид:

Возможная форма уравнения связи:

но она не пригодна для составления системы уравнений с помощью метода контурных токов – МКТ, т.к. правая часть в неявном виде содержит U(t).

Для анализа нелинейных цепей используют эквивалентную уравнению связи - зависимость заряда q от напряжения U – вольт-амперную харектеристику.

Заметим, чтоq=c(u)u и следовательно можно записать отношение - называетсястатической ёмкостью. Эти характиристики чаще всего определяют для малой окрестности некоторого фиксированного значения U₀. Для линейной постоянной ёмкости С_стат=С_диф=С

Уравнение связи можно записать в форме:

т.е.

Если величина колебаний напряжений относительно U₀ мала, то в пределах рабочего участка характеристики последняя может считаться линейной, что обуславливает линейность уравнения связи

, откуда

Как и L_диф элемента индуктивности, С_диф элемента ёмкости всегда положительна, С_диф>0. Это обусловлено тем, что увеличение U на ёмкости не может приводить к уменьшению заряда.

4. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Как указывалось ранее удобными характеристиками нелинейных элементов являются не уравнения связи, а вольтамперная характеристика активного сопротивления или, или зависимость- для нелинейной индуктивности (ампер-веберная характеристика), или зависимостьq(u) – для нелинейной емкости (вольт-кулонная характеристика).

і(t) Ψ(t) q(t)

Если любая из этих характеристик задана аналитическим выражением, то в окрестности рабочей точки, функция может быть представлена, разложением в ряд Тейлора (в окр. х₀) или

, где R – остаток разложения в ряд Тейлора.

Если же характеристика задана графически, тогда аппроксимацию можно осуществить укороченным степенным рядом (полином), ограничивая его второй –пятой степенью.

Составляем систему уравнений:

Здесь y_n, x_n, x₀ – известные величины, поэтому эту систему можно решить (по методу Крамера),

относительно коэффициентов a_l.

Если x=x₀+S (х₀ постоянное смещение, а s малый сигнал), то ,

где α – дифференциальный параметр нелинейного элемента.

Иногда характеристики нелинейных элементов аппроксимируют трансцендентными функциями. Например

или .

Широко применяется и кусочно-линейная аппроксимация

I

u

Имеем . Пусть s(t)=s₁(t)+s₂(t)

,

если s₂(t)=S₂cosω₂t

s(t)=S₁cosω₁t + S₂cosω₂t

Возводя двухчлен s(t)=s₁(t) + s₂(t) в n^ю степень и, группируя затем члены суммы можно убедиться, что в составе реакции y(t) имеются слагаемые частот ξω₁±ηω₂, где ξ и η – любые числа, не исключая нуль, т.е. спектр содержит слагаемые комбинационных частот, т.е. в нелинейных цепях возможны различные радиотехнические процессы ( стабилизация постоянного тока и напряжения, умножение, выпрямление, модуляция, детектирование и многое другое.