Следовательно, grad z=2i+j (рис. 10).

Производные и дифференциалы высших порядков

1°. Частные производные высших порядков. Частными производными второго порядка

функции z=f(х,у) называются частные Производные от ее частных производных первого порядка.

Для производных второго порядка употребляются обозначения

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.

Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Пример. Найти частные производные второго порядка от функции z = arctg xy .

Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка:

2°. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом второго порядка функции z=f(х, у)

называется дифференциал от дифференциала (первого порядка) этой функции d²z=d(dz). Аналогично определяются дифференциалы функции г порядка выше второго, например:

d³z=d(d²z) и, вообще, d n z = d (d n−1z).

68

Если z=f(х,у), где х и y — независимые переменные, то дифференциал 2-го порядка функции г вычисляется по формуле

Вообще, справедлива символическая формула

которая формально развертывается по биномиальному закону.

Если z=f(х,у), где аргументы х и у суть функции одного или нескольких независимых переменных, то

Если х и у — независимые переменные, d²x=0, d²y=0 и формула (2) становится тождественной формуле (1).

Пример. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции z = 2x2 − 3xy − y2 .

2-й способ. Дифференцированием находим:

dz = 4xdx − 3(ydx + xdy) − 2ydy = (4x − 3y)dx − (3x + 2y)dy .

Дифференцируя ещё раз и помня, что dx и dy не зависят от х и у, получим: d 2 z = (4dx − 3dy)dx − (3dx + 2dy)dy = 4dx2 − 6dxdy − 2dy2 .

Интегрирование полных дифференциалов

1°. Условие полного дифференциала. Для того чтобы выражение Р(х,у)dx+Q(х,у)dу, где функции P(х,y) и Q(х,у) непрерывны в односвязной области D вместе со своими частными производными первого порядка, представляло собой в области D полный дифференциал

некоторой функции u(х,у), необходимо и достаточно выполнение условия ддQx ≡ ддPy .

Пример. Убедится в том, что выражение (2x+y)dx+(x+2y)dy=du= ддux dx = ддuy dy , где u —

искомая функция.

По условию ддux = 2x + y , следовательно, u = ∫(2x + y)dx = x2 + xy + ϕ (y) .

Но, с другой стороны, ддuy = x + ϕ '(y) = x + 2y , откуда ϕ '(y) = 2y ,ϕ (y) = y2 + C и

u = x2 + xy + y2 + C .

Окончательно, (2x + y)dx + (x + 2y)dx = d (x2 + xy + y2 + C).

69

Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через f(х,y) найдем частные производные

f'x(x,y)=3(x²+y²)²·2x-3·2x=6x[(x²+y²)-1], f'y(x,y)=3(x²+y²)²·2y-3·2y=6y[(x²+y²)-1].

Отсюда, применяя формулу (1), получим:

Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную первую производную, учитывай при этом, что у есть функция х:

2°. Случай нескольких независимых переменных. Аналогично, если уравнение F(х, у, z)=0, где F(х, у, z) — дифференцируемая функция переменных х, у и z, определяет z как функцию независимых переменных х и у и Fz(x, у, z)≠0, то частные производные этой неявно заданной функции, вообще говоря, могут быть найдены по формулам

Другой способ нахождения производных функции z следующий: дифференцируя уравнение

F(х, у, z) = 0, получим:

ддFx dx + ддFy dy + ддFz dz = 0.

Отсюда можно определить dz, а следовательно, ддxz и ддyz .

Пример. Найти ддxz и ддyz , если x² - 2y²+3z² - yz+y=0.

Решение.

1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения через F(х, у, z), найдем частные производные F'x(x,y,z)=2x, F'y(x,y,z)=-4y-z+1, F'z(x,y,z)=6z-y.

Применив формулы (2), получим:

2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим:

2х dx-4y dy+6z dz-y dz-z dy+dy=0

Отсюда определяем dz, т. е. полный дифференциал неявной функции:

dz = 2xdx + (1− 4y − z)dy . y − 6z

Сравнивая с формулой dz = ддxz dx + ддyz dy , видим, что

71

3°. Система неявных функций. Если система двух уравнений

F(x, y,u.v)= 0,G(x, y,u.v)= 0,

определяет u и v как функции переменных х и у и якобиан

то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные) могут быть найдены из системы уравнений

Пример: Уравнения u+v=x+y, xu+yv=1 определяют u и v как функции х и у; найти

ддux , ддuy , ддvx , ддvy .

Решение. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по х, получим:

Аналогичным образом найдем:

2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие дифференциалы всех четырех переменных: du+dv=dx+dy, x du+u dx+y dv+v dy=0.

Решив эту систему относительно дифференциалов du и dv, получим:

4°. Параметрическое задание функции. Если функция г переменных х и у задана параметрически уравнениями x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) и

72

то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений

Зная дифференциал dz=p dx+q dy, находим частные производные ддxz = p и ддyz = q .

Пример. Функция z аргументов х и у задана уравнениями x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Найти ддxz и ддyz .

Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных:

dx = du + dv,dy = 2udu + 2vdv,

dz = 3u2du + 3v2dv.

Из первых двух уравнений определим du и dv:

Подставим в третье уравнение найденные значения du и dv:

73

Замена переменных

При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие в них производные следует выразить через другие производные по правилам дифференцирования сложной функции.

1°. Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производные.

Решение. Выразим производные от у по х через производные от у по t. Имеем:

Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и заменяя х через 1t ,

получим:

или

d 2 2y + a2 y = 0 . dt

приняв за аргумент у, а за функцию х.

Решение. Выразим производные от у по х через производные от х по у.

dydx = dx1 ; dy

74

Подставив эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь: