Модуль 6. Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл

Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица интегралов

Первообразная функция

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F′(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

Неопределенный интеграл и его непосредственное вычисление

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.

Записывают: ∫ f (x)dx = F(x) + C;

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства неопределенного интеграла.

1.(∫ f (x)dx)′ = (F(x) + C)′ = f (x);

2.d (∫ f (x)dx)= f (x)dx;

3.∫dF(x) = F(x) + C;

4.∫(u + v − w)dx = ∫udx + ∫vdx − ∫wdx; где u, v, w – некоторые функции от х.

5.∫C f (x)dx = C ∫ f (x)dx;

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций

– рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

23

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла ∫ dxx . На основе известной формулы дифференцирования (ln x)′ = 1x можно сделать вывод, что искомый интеграл равен ln x + C , где

С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны (ln(− x))′ = − 1x (−1) = 1x . Таким

образом, окончательно можно сделать вывод: ∫ dxx = ln x + C

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

2. Способ подстановки (замены переменных)

Теорема: Если требуется найти интеграл ∫ f (x)dx , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = ϕ(t) и dx = ϕ′(t)dt получается:

∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt

24

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство: d ∫ f (x)dx = d (∫ f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt)

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f(x)dx = f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример. Найти неопределенный интеграл ∫ sin x cos xdx .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

3. Интегрирование по частям

Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv)′ = u′v + v′u, где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла: uv = ∫udv + ∫vdu или ∫udv = uv − ∫vdu ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

+ 2e2x cos x − 4∫cos xe2x dx

25