Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

_er_er_files_book894_book.pdf

Скачиваний:

183

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Пример

3 x − 1 + 4 x − 1

x − 1 = t;

∫ (x − 1)(1+ 6 x − 1)

dx =

= 12t11dt;

∫

t 2

dt +

∫

= 12

+ 1

t + 1

= 12

x − 1				= t12 ;	=
					=


−			t
−	t	2		dt + ∫
	t		+ 1

∫

(t 4

+ t 3 )12t11dt

= 12∫

t 3 + t

dt =

+ t

)

+ 1

∫

tdt

∫

−

= 12

tdt − 12

+ 12

dt −

+ 1

− 12∫1+dtt 2 = 6t 2 + 12t − 6ln(t 2 + 1) − 12arctgt + C = 66 x − 1 + 1212 x − 1 − 6ln(6 x − 1 + 1) −

− 12arctg12 x − 1 + C.

Интегрирование биноминальных дифференциалов

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx где m, n, и p – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1.Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки t = λ x , где λ - общий знаменатель m и n.

2.Если mn+ 1 - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

t = s a + bxn , где s – знаменатель числа р.

3. Если	m + 1	+ p	- целое число, то используется подстановка t = s	a + bxn	, где s –
	n			xn

знаменатель числа р.

Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

Интегралы вида ∫R(x, ax2 + bx + c )dx .

Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

± u 2 ± m2 .

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов: 1. ∫ R( u, m2 − u 2 )du;

2.∫R(u, m2 + u 2 )du;

3.∫R(u, u 2 − m2 )du;

1 способ. Тригонометрическая подстановка.

Теорема: Интеграл вида ∫R(u,

− u 2 )du подстановкой u = m sin t или

u = m cost сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

x = a sin t;

2 tdt = a

∫

a2 − x2 dx =

= ∫ a

2 − a2 sin2 ta costdt = ∫a2 cos

∫(1+ cos2t)dt =

dx = a costdt

= a2t + a2

sin 2t + C = a2t

+ a2

sin t cost + C = a2

arcsin x

+ x

− x2

+ C.

Теорема: Интеграл вида ∫R(u,

+ u 2 )du подстановкой u = mtgt илиu = mctgt сводится к

интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

Пример:

∫

x = atgt;dx = cos2 t dt;

∫

a costdt

= ∫

cos3 tdt

∫

(1− sin2

t)d sin t

+ x

cos

sin

+ x

;

cost

+ x

)

3/ 2

+ x

= −

+ C =

−

= −

+ C.

sin

sin t =

+ x

a2 + x2

sin t

Теорема: Интеграл вида ∫R(u,

u 2

− m2 )du подстановкой u =

или u =

сводится к

sin t

cost

интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

2sin t

∫

x =

cost

;dx =

cos

dt;

∫

2sin t costdt

∫ctg

tdt

x(x

− 4)

5 / 2

cos

2 2

− 4 = 2tgt;

∫ctg

= −

∫ctg

td (ctgt) −

∫ctg

tdt = −

ctg

−

∫

− 1 dt

sin

= − 1 ctg 3t + 1 ctgt + t

+ C =

ctgt

= −

3/ 2

−

12(x

− 4)

− 4

arccos

+ C.

2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)

Если а>0, то интеграл вида ∫R(x,

ax2

+ bx + c )dx рационализируется подстановкой

ax2 + bx + c = t ± x a .

2.Если a<0 и c>0, то интеграл вида ∫R(x, ax2 + bx + c )dx рационализируется подстановкой ax2 + bx + c = tx ± c .

3.Если a<0, а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x –

x1)(x – x2), то интеграл вида ∫R(x, ax2 + bx + c )dx рационализируется подстановкой ax2 + bx + c = t(x − x1 ) .

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,

т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

I.∫	P(x)dx	;	II.∫P(x) ax	2	+ bx + cdx;	III.∫	dx	;
	ax2 + bx + c						(x − α)n ax2 + bx + c

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.

Далее делается следующее преобразование:

∫	P(x)dx			=Q(x) ax	2	+ bx + c + λ∫			dx	;
	ax	2	+ bx				ax	2	+ bx + c
				+ c

в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а λ - некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают

на ax2 + bx + c и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют λ и коэффициенты многочлена Q(x).

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

Пример.
∫ 3x32	− 7x2 + 1dx = (Ax2 + Bx + C) x2 − 2x + 5 + λ∫	x	2	dx	.
x	− 2x + 5	x		− 2x + 5

Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на ax2 + bx + c и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

3x3 − 7x2 + 1 = (2Ax + B) x2 − 2x + 5 + Ax2 + Bx + C (x − 1) +		λ
x2 − 2x + 5	x2 − 2x + 5	x2 − 2x + 5

(2Ax + B)(x2 − 2x + 5) + (Ax2 + Bx + C)(x − 1) + λ =3x3 − 7x2 + 1 38

2Ax3 − 4Ax2 + 10Ax + Bx2 − 2Bx + 5B + Ax3 + Bx2 + Cx − Ax2 − Bx − C + λ =3x3 − 7x2 + 1 3Ax3 − (5A − 2B)x2 + (10A − 3B + C)x + 5B − C + λ = 3x3 − 7x2 + 1

A = 1

5A − 2B = 7

B = −1

10A − 3B + C = 0

C = −13

5B − C + λ = 1

λ = −7

Итого ∫ 3x32

−

7x2

+ 1dx = (x2

− x − 13)

− 2x + 5 − 7∫

dx 2

− 2x + 5

(x − 1)

=(x2

− x − 13)

− 2x + 5 − 7ln(x − 1+

− 2x + 5) + C.

Пример.

∫(4x

−

6x) x

3dx = ∫

(4x2

− 6x)(x2 + 3)

dx =

(Ax

+ Bx

+ Cx + D) x

+ 3

+ λ∫

+ 3

4x4 − 6x3 + 12x2 − 18x = (3Ax2 + 2Bx + C) x2 + 3 + (Ax3 + Bx2 + Cx + D)x +

x2 + 3

4x4 − 6x3 + 12x2 − 18x = (3Ax2 + 2Bx + C)(x2 + 3) + Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + λ

4x4 − 6x3 + 12x2 − 18x = 3Ax4 + 2Bx3 + Cx2 + 9Ax2 + 6Bx + 3C + Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + λ

4x4 − 6x3 + 12x2 − 18x = 4Ax4 + 3Bx3 + (2C + 9A)x2 + (6B + D)x + 3C + λ

A = 1; B = −2; C = 3/ 2; D = −6; λ = −9/ 2;

∫(4x

− 6x) x

− 2x

x −

+ 3

−

ln x +

+ 3 + C.

+ 3dx = x

6 x

Пример.

∫

x = v

;

v3dv

= −∫

v2 dv

2 = (Av + B) 1− v

+ λ∫

= −∫

1− v

− 1

= −

− 1

−

= A 1− v

−

(Av + B)v

1− v2

−v2 = A − Av2 − Av2 − Bv + λ

−v2 = −2Av2 − Bv + A + λ

A = 1/ 2;					B = 0;			λ = −1/ 2;
	v	2	dv			v	1	− v	2	1		1	x	2	− 1		1
− ∫					=				−		arcsin v =					− arcsin		+ C
	1	− v		2			2			2		2	x		2		x

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

К таким интегралам относится интеграл вида ∫R(x, P(x))dx , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

1.	∫e− x2 dx - интеграл Пуассона (Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-
	1840))
2.	∫sin x2 dx; ∫cos x2dx - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский
	ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

3.∫ lndxx - интегральный логарифм

4.∫ exx dx - приводится к интегральному логарифму

5.∫ sinx x dx - интегральный синус

6.∫ cosx xdx - интегральный косинус

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2019988 Кб9_Documents_Prog_eko_RT.doc
#
12.03.20151 Мб13_education_elib_pdf_2008_chernyshov.pdf
#
12.03.20151 Мб183_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153 Мб5_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20154 Мб5_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118 Кб3_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349 Кб5_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.2015152 Кб22-51.doc