38. Уравнение энергии и уравнение Бернулли для энергоизолированного изоэнтропийного течения
Энергоизолированное изоэнтропное течение.Такое течение происходитбез энергетического обменас внешней средой (Qе=0, L=0) ибез трения(Lr=Qr=0). При этом автоматически соблюдаются условияизоэнтропности(изоэнтропийности) процесса.Уравнение энергииимеет тот же вид, что и для энергоизолированного течения (2.18) или (2.19)
Cp(T1-Т2) + (w12- w22)/2 = 0,
CpT1+ w12/2 = CpТ2+ w22/2,
а уравнение Бернуллизаписывается так:
12∫(dp/ρ)+(w22- w12)/2 =0. (2.22)
Здесь также при вычислении интеграла связь между давлением и плотностью устанавливается уравнением изоэнтропы. Этот частный случай применяется довольно широко. Например, втеоретической газодинамикебольшинство задач рассматривается в предположении именно такого вида течения.
В дифференциальной форме уравнения (2.18) и (2.22) имеют следующий вид:
CpdT + d(w2/2) = 0, (2.23)
dp/ρ + d(w2/2) = 0. (2.24)
Рассмотрим еще две весьма употребительных формы записи уравнения Бернуллидляэнергоизолированного изоэнтропного течения. Интегрируя уравнение (2.24), имеем6
∫(dp/ρ) + w2/2 = const.
Используя уравнение изоэнтропы
p/ρk = B = const,
и следующие очевидные соотношения
ρk = (p/B); ρ = (p/B) 1/k; B 1/k = (p/ρk)1/k =p1/k/ρ;
найдем значение интеграла
∫(dp/ρ) =∫(dp/(p/B) 1/k)= B 1/k∫(dp/p 1/k)= B 1/k∫p -1/kdp=
= B 1/kp (1-1/k)/(1-1/k)= p1/k∙ p (1-1/k)∙ k/ρ∙(k-1) =
=(k/(k-1))( p1/k∙ p (k-1)/k/ρ) = (k/(k-1)) p/ρ.
и, подставив его в предыдущее уравнение, получим
(k/(k-1)) p/ρ + w2/2 = const. (2.25)
Если сопоставить уравнение (2.25) с уравнением Бернулли для горизонтального течения идеальной несжимаемой жидкости
p/ρ + w2/2 = const,
то можно заметить, что они отличаются только первым слагаемым: для газа коэффициент, стоящий перед p/ρ равенk/(k-1)тогда как для несжимаемой жидкости он равен1. Таким образом, величинаk/(k-1)учитываетвлияние сжимаемости.
Если воспользоваться соотношением, с помощью которого определяется скорость распространениязвука a2= kRT= kp/ρ , и преобразовать первое слагаемое уравнения (2.25), то последнее приобретает вид:
a/(k-1) + w2/2 = const.(2.26)
Эта форма записи уравнения Бернуллишироко применяется втеоретической газодинамике.
с.11…19, с.24…34. с.31…36. 4 с.39..42. 5 с.412…415.
8 с.187, с.194…195.
О
с н о в н а я л и т е р а т у р а
1) Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. - М.: Наука, 1976. - 888 с.
2) Виноградов Б.С. Прикладная газовая динамика.- М.: Изд. Университета дружбы народов им. Патриса Лумумбы,1965. - 348 с.
3) Дейч М.Е. Техническая газодинамика. - М.: Энергия, 1974. - 592 с.
4) Дейч М.Е., Зарянкин А.Е. Газодинамика: учебное пособие для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 384 с.
5) Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика: учебник для вузов по специальности "Гидравлические машины и средства автоматики". - М.: Машиностроение, 1987. - 440с.
6) Повх И.Л. Техническая гидромеханика. - М.: Машиностроение, 1976. - 504с.
7) Самойлович Г.С. Гидрогазодинамика. - М.: Машиностроение, 1990. - 384 с.
8) Сергель О.С. Прикладная гидрогазодинамика: учебник для авиационных вузов. - М.: Машиностроение,1981. - 374 с.
1Понятие «звуковой барьер» употребляют еще в ином смысле, подразумевая комплекс технических трудностей, которые возникают при попытке перейти скорость звука и достигнуть сверхзвуковой скорости полета.
2Эта формула известна также из термодинамики, где она рассматривается в разделе истечения газов.
3См. файл Уравнение энергии.pdf
4См. файлПараметры торможения.pdf
5 Необходимо заметить, что это уравнение было получено в наши дни. Имя Даниила Бернулли ему присвоено потому, что оно является обобщением известного в гидродинамике уравнения Бернулли на случай течения газа.
6 Берется неопределенный интеграл.