Тема 2. Множества и операции над ними Контрольные вопросы по теории

1. Что понимают под множеством?

2. Как называют объекты, из которых образовано множество?

3. Какое множество называют пустым?

4. Какие множества называют конечными и бесконечными?

5. В каком случае считают, что множество задано?

6. Укажите способы задания множеств.

7. В каком случае множество А является подмножеством множества В?

8. Какие подмножества называют собственными и несобственными?

9. Какие множества называют равными?

10. Сформулируйте свойство равенства множеств.

11. Какое множество называют пересечением, объединением, разностью множеств, дополнением одного множества до другого, дополнением множества до универсального?

Практические задания

1. Как называют: а) множество овец; б) множество лошадей; в) множество пчел, летящих вместе; г) множество футболистов, собравшихся вместе; д) множество кораблей, плывущих вместе; е) множество артистов, работающих в одном театре?

2. Приведите примеры множеств, о которых можно сказать одним словом.

3. Даны множества: А = {а; е; и; о; у; э; ы; ю; я}, В = {111; 222; 333; 444; 666; 777; 888; 999}, С = {2; 4; 6; 8}. Задайте каждое из них описанием характеристического свойства элементов.

4. Задайте следующие множества перечислением: а) множество различных букв в слове «головоломка»; б) множество различных цифр в числе 134 433 154.

5. Прочитайте следующие записи и перечислите элементы каждого из множеств: А = {х хN, х < 5}; В = {х хN, – 1 < х <7}; С = {х х  N, х² = 4}; D = {х х  R, х² = 2}.

6. Запишите множество К, элементами которого являются натуральные числа, меньшие 7, используя символические записи характеристического свойства и перечисления элементов множества. Верно, ли, что: а) 5  К; б) 0  К; в) 7  К?

7. Даны числа 19; ; 0; –27; 5,4;. Какие из них принадлежат множеству: а) целых чисел; б) целых неотрицательных чисел; в) рациональных чисел; г) действительных чисел?

8. Какие из записей верны: а) 129  N; б) 0  N; в) 1,23  N; г) – 2,34  Z; д)  Q; е) – 1,67  R?

9. Изобразите на координатной прямой следующие множества:

а) {х х  N, х 3};

б) {х х  Z, – 2 х2};

в) {х х  R, х 3,5};

г) {х х  R, – 2,8 х <6}.

10. Задайте числовое множество описанием характеристического свойства элементов: а) (3; 8); б) (– ; 7]; в) [– 5,2; 0]; г) [0; 7,3).

11. Приведите примеры пустого множества.

12. Докажите, что следующие множества являются пустыми: а) {х х  N, х < 1}; б) {х х  N, 8 < х < 9}.

13. Укажите элементы следующих множеств: а) {а, b, c}; б) {а}; в) {{а}}; г) ; д) {}; е) {{а, b}, {c}}; ж) {{а}, а, }.

14. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.

15. Изобразите множества М = {1; 3}, К = {5; 7}, L = {1; 3; 5; 8}, Р = {5; 7} на кругах Эйлера и выясните, в каком отношении каждое из них с другими множествами.

16. Установите, в каком отношении находятся множества В и С, если:

а) В = [3; 5], С = [4; 6];

б) В = (7; +),С = [8; 12);

в) В = (-; 0],С = [0; 7);

г) В = [-5; -1), С = (-1; 6].

17. А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество квадратов. Докажите, что В  А и С  В. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера.

18. Установите отношения между множествами А, В и С и изобразите их при помощи кругов Эйлера, если:

а) А – множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, кратных 10, С – множество натуральных чисел, кратных 5;

б) А – множество треугольников, В – множество прямоугольных треугольников, С – множество равносторонних треугольников;

в) А – Множество треугольников с углом 45^о, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество равносторонних треугольников;

г) А – множество ромбов, В – множество пятиугольников, С – множество многоугольников, содержащих угол 60^о.

19. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества: А – равнобедренных треугольников, В – остроугольных треугольников, С – прямоугольных треугольников, D – равносторонних треугольников.

20. Приведите примеры множеств А, В и С, изображенных на диаграмме:

а)А В б) В в) С

А

С

21. Даны множества А и В. Сформулируйте условия, при которых .

22. Образуйте все подмножества множества К = {р; r; s; t}. Сколько их получилось?

23. Сколько элементов в множестве, которое имеет 32 подмножества? 128 подмножеств?

24. Существует ли такое множество, которое: а) имеет всего 80 подмножеств? б) не имеет ни одного подмножества?

25. Найдите пересечение и объединение множества С = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} и множества D, если: a) D = {4, 6, 8, 10}; б) D = {2, 4, 6; 8; 10, 12, 14}; в) D = {13, 14, 15, 16}; г) D = С.

26. Перечислите элементы, принадлежащие пересечению множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «грамматика». Из каких элементов состоит объединение данных множеств?

27. Найдите пересечение и объединение множеств:

а) [8; 15] и [9; 20];

б) ( –1; 1] и [–1; 0);

в) (2; +) и [– 4; 3];

г) (–; 3] и ( –2; + ).

28. Найдите пересечение и объединение множеств А = {а; b; с; d; e}, В = {с; d; f; k}, С = {b; с; d}. Верно ли, что: а) е  А  В  С; б) с  А  В  С?

29. С – множество трапеций, D – множество параллелограммов, Е – множество четырехугольников, имеющих прямой угол. Постройте для данных множеств круги Эйлера, выделите штриховкой области, изображающие множества , задайте каждое из них описанием характеристического свойства.

30. Расположите 5 элементов на диаграммах двух пересекающихся множеств А и В так, чтобы в них было соответственно: а) 2 и 4 элемента; б) по 4 элемента; в) 4 и 5 элементов; г) по 5 элементов; д) 3 и 2 элемента; е) по 3 элемента.

31. Расположите 3 элемента на диаграммах трех попарно пересекающихся множеств А, В и С так, чтобы в них было соответственно: а) по 3 элемента; б) по 2 элемента; в) по 1 элементу; г) 1, 2 и 3 элемента; д) 1, 3 и 3 элемента; е) 0, 2 и 3 элемента.

32. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие высказывания: а) 9  А \ В; б) 12  А \ В.

33. Известно, что х  А \ В. Следует ли из этого, что: а) х  А; б) х  В?

34. Множество А состоит из натуральных чисел от 2 до 10, множество В – из натуральных чисел от 5 до 12. Перечислите элемен­ты множеств А \ В и В \ А.

35. Найдите разность множества А = {а; b; с; d; e} и множества В, если: а) В = {с; а; d; е; f; k; l}; б) В = {а; с; e}; в) В = {с; а; d; е; b}; г) В = {k; l; m}; д) В = {а; b; с; d; e; f; k}; е) В = . В каких случаях в результате получилось дополнение множества В до множества А?

36. Р – множество двузначных чисел, К – множество четных натуральных чисел. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера, отметьте штриховкой разность множеств Р и К и укажите характеристическое свойство элементов, принадлежа­щих этой разности. Верно ли, что Р \ К содержит числа 21; 17?

37. Дано множество Х = {а; b; с; d; e; f}. Запишите два подмножества множества X и дополнения этих подмножеств до множества X.

38. Сформулируйте характеристическое свойство элементов дополнения подмножества Р до множества треугольников, если: а) Р – множество остроугольных треугольников; б) Р – множество равносторонних треугольников.

39. Отметьте на координатной прямой множество А и укажите характеристическое свойство элементов его дополнения до мно­жества R действительных чисел, если: а) А = (–; 2]; б)А = [2; 5]; в) А = (– 6; 9); г) А = (–7; +).

40. Изобразите на числовой прямой множества А и В, их дополнения и определите А  В, А  В, А \ В, ∩В, А ,\А, если:

а) А = (6; 9), В = [8; 11];

б) А = (1; 7], В = [5; 10);

в) А = [-5; 0], В = [–3; 8];

г) А = (– 8; 6), В = [0; 2];

д) А = (2; 5), В = (1; 12);

е) А = [2; 6], В = (6; 15);

ж) А = [– 3; 7], В = [7; 14);

з) А = (3; 9), В = [12; 15].

41. Множества А, В и С таковы, что А  В  С ≠ . Изобра­зите их при помощи кругов Эйлера и отметьте штриховкой обла­сти, представляющие множества:

а) (А \ В)  С;

б) А \ В  С;

в) А  (В \ С);

г) А  В \ С;

д) А  В 

е) (А  В)'  С;

ж) (А'  В')  С;

з)  В  C.

42. К – множество трапеций, L – множество четырехугольников, имеющих прямой угол, М – множество квадратов. Построй­те круги Эйлера для данных множеств и отметьте штриховкой об­ласти, изображающие множества: а) К \ L  М; б) L  М \ К; в) К  L \ М.

43. А – множество прямоугольников, В – множество правильных многоугольников, С – множество треугольников. Постройте круги Эйлера для данных множеств и отметьте штриховкой области, изображающие множества: а) А  В  C; б) А'  В  C; в) (А  В)'  С.

44. Известно, что А, В и С – подмножества универсального множества I и А  В  С ≠ . Проиллюстрируйте равенство множеств на кругах Эйлера и докажите их:

а) ( В)' = А  В';

б) А  В' = (В \ А)';

в) А \ В = А \ А  В;

г) А \ (В  C) = (А \ В)  (А \ С);

д) (А  В) \ C = (А \ С)  (В \ С);

е) (А \ В)  С = (А  С) \ (В  C);

ж) (В)'  C= (А'  В';

з) (А  В)' С = (А  В'.