Тема 9. Отношение следования и равносильности между предложениями. Строение и виды теорем Контрольные вопросы по теории

1. Что значит предикат В (х) следует из предиката А (х)? В каком отношении находятся множества истинности этих предикатов?

2. В каком случае предикат А (х) будет являться необходимым условием для предиката В (х), достаточным условием для В (х)?

3. В каком случае предикаты А (х) и В (х) будут равносильны?

4. Какое утверждение называется теоремой?

5. Для теоремы вида А (х)  В (х) запишите обратное, противоположное, обратное противоположному предложения. В каком случае полученные предложения будут являться теоремами?

Практические задания

1. Запишите следующие высказывания при помощи символа =>: а) А (х) следует из В (х), б) из С (х) следует D (х).

2. На множестве X = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} заданы предикаты А (х): «х делится на 4» и В (х): «х делится на 2». Найдите значения истинности высказываний А (а) и В (а) при каждом из значений а  Х. На основании полученных результатов выясните, истинно ли высказывание «Из А (х) следует В (х)». Можно ли утверждать, что истинно высказывание «Из В (х) следует А (х)»?

3. На множестве X = {1; 2; 3; ...; 9} заданы предикаты А (х): «х > 2», В (х): «х > 8», С (х): «х – нечетное число». Найдите множества истинности каждого из предикатов и докажите, что на множестве X: а) предикат А (х) следует из предиката В (х); б) из предиката В (х) следует предикат С (х).

4. На множестве R заданы предикаты Е (х): «х – 2 = 0» и F (х): «х² – 4 = 0». Найдите множества истинности этих предикатов и выясните, в каком отношении они находятся. Можно ли утверждать что F (х) следует из Е (х) на множестве N?

5. Известно, что предикат В (х) следует из предиката А (х) на множестве R. Можно ли утверждать, что предикат В (х) будет следовать из предиката А (х) на множестве N?

6. Докажите, что каждое из нижеприведенных утверждений истинно. а) Если число натуральное, то оно положительное. б) Если число кратно 10, то оно кратно 5. в) Если треугольник прямоугольный, то он не равносторонний.

7. Докажите, что каждое из нижеприведенных утверждений ложно. а) Если треугольник равнобедренный, то он равносторонний. б) Если треугольник прямоугольный, то он равнобедренный. в) Если треугольник равнобедренный, то он остроугольный.

8. Выясните, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны:

а) х + 3 = 0 => х² – 9 = 0;

б) х² = 4 => х = 2;

в) (х – 1) (х – 2) = 0 => (х – 1) (х – 2) (х +3) = 0;

г) х < 3 => х < 7;

д) х 2 =>х 4;

9. Установите, находятся ли данные пары предикатов в отношении следования:

а) А (х): «треугольник х – равносторонний», В (х): «треугольник х – равнобедренный»;

б) А (х): «в четырехугольнике х диагонали равны», В (х): «четырехугольник х – прямоугольник»;

в) А (х): «четырехугольник х – квадрат», В (х): «четырехугольник х – ромб»;

г) А (х): «треугольник х – прямоугольный», В (х): «треугольник х – равнобедренный».

10. Приведите примеры предикатов, которые находятся в отношении следования на одном множестве и не находятся на другом.

11. Известно, что высказывания А (х) => В(х) и В(х) => А(х) истинны. Какими являются предикаты А (х) и В(х)? В каком отношении находятся множества Т_А и Т_В?

12. Найдите множества истинности предикатов А (х): «х делится на 3» и В (х): «сумма цифр в записи числа х кратна 3», заданных на множестве X = {3; 5; 7; 8; 9; 11; 13; 15}, и выясните, в каком отношении они находятся. Будут ли предикаты А (х) и В (х) равносильны на множестве X?

13. Равносильны ли следующие предложения А (х) и В (х), если: а) А (х) – «число делится на 9», В (х) – «сумма цифр в записи числа делится на 9». б) А (х) – «каждое слагаемое суммы делится на 4», В (х) – «сумма делится на 4»?

14. Известно, что при некотором значении а  X предикат А (х) обращается в истинное высказывание, а предикат Q (х) – в ложное. Достаточно ли этого, чтобы утверждать, что предикаты А (х) и Q (х) не равносильны на множестве X?

15. В каждое из нижеприведенных высказываний вместо многоточия вставьте термин «необходимо» или «достаточно», чтобы получившееся высказывание было истинным: а) Если А (х) => В (х), то А (х) ... для В (х), а В (х) ... для А (х); б) Если В (х) => А (х), то А (х) ... для В (х), а В (х) ... для А (х).

16. Запишите следующие высказывания, используя символ =>: а) Р (х) – достаточное условие для Q (х); б) Q (х) – достаточное условие для Р (х); в) Р (х) – необходимое условие для Q (х); г) Q (х) – необходимое условие для Р (х).

17. Запишите следующие предложения, используя символ => или <=>: а) Для того чтобы имело место С (х), необходимо, чтобы выполнялось Е (х). б) Для того чтобы имело место С (х), достаточно, чтобы выполнялось Е (х). в) Для того чтобы имело место С (х), достаточно и необходимо, чтобы выполнялось Е (х).

18. Каждую из следующих теорем сформулируйте при помощи терминов «достаточно», «необходимо»: а) Если каждое слагаемое делится на данное число, то и сумма делится на данное число. б) Если наклонные, проведенные из одной точки к одной и той же прямой, равны, то равны и их проекции.

19. Сформулируйте высказывания со словом «следует»:

а) Равенство двух чисел есть достаточное условие равенства их квадратов.

б) Наличие прямого угла в четырехугольнике необходимо для того, чтобы четырехугольник был квадратом.

в) Делимость числа на 2 необходима для того, чтобы число разделилось на 4».

г) Равенство числителя дроби нулю достаточно для того, чтобы вся дробь равнялась нулю.

20. Какие из нижеприведенных высказываний истинные:

а) Для того чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы оно делилось на 6.

б) Для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы оно делилось на 6.

в) Для того чтобы число делилось на 100, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 10.

г) Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 5?

21. Вместо многоточия вставьте термины «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»:

а) Для того чтобы сумма двух чисел равнялась второму слагаемому, ..., чтобы первое слагаемое было равно нулю

б) Для того чтобы 5а было равно нулю, ..., чтобы a = 0.

в) Для того чтобы ab = 0, ..., чтобы a = 0.

г) Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, …, чтобы хотя бы одно из них равнялось нулю.

д) Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, … чтобы каждое из них равнялось нулю.

е) Для того чтобы сумма двух чисел была числом четным, …чтобы каждое слагаемое было четным числом.

ж) Чтобы сумма трех чисел была числом нечетным, … чтобы хотя бы одно из них было числом нечетным.

з) Для того чтобы разность двух чисел была четной, чтобы обе компоненты вычитания были четными.

и) Чтобы произведение двух чисел было числом нечетным, … чтобы каждое из них было числом нечетным.

к) Чтобы произведение двух чисел было числом четным, … чтобы хотя бы одно из них было числом четным.

л) Для того чтобы число делилось на 10, … чтобы оно делилось на 5.

м) Для того чтобы число делилось на 30, … чтобы оно делилось на 3 и на 10.

н) Для того чтобы число делилось на 20, … чтобы оно делилось на 2 и на 10.

о) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, … чтобы все его стороны были равны.

п) Для того чтобы прямоугольник был квадратом, … чтобы все его стороны были равны.

р) Для того чтобы два квадрата имели одну и ту же площадь, ..., чтобы стороны их были равны.

с) Для того чтобы площадь прямоугольника была равна 48 см², … чтобы его длина была равна 24 см, а ширина 2 см.

т) Для того чтобы объем куба был равен 27 см³, … чтобы его ребро было равно 3 см.

22. Каждую из следующих теорем разбейте на две так, чтобы одна из них выражала прямую, а другая – обратную теорему. Укажите, какая из двух выделенных вами теорем выражает достаточность условия, а какая – необходимость.

а) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были равны.

б) Для того чтобы х³ = у³, необходимо и достаточно, чтобы х = у.

в) Для того чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9.

23. Выделите условие и заключение в следующих теоремах: а) если треугольники подобны, то их высоты относятся как сходственные стороны; б) если многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность; в) если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.

24. Сформулируйте следующие теоремы в виде «Если..., то...», выделяя в каждой из них условие и заключение.

а) Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых есть также перпендикуляр к другой.

б) Всякий параллелограмм имеет центр симметрии.

в) Дуги, заключенные между равными хордами, равны.

г) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

д) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

е) Симметричные относительно оси фигуры равны.

25. В следующих теоремах выделите условие и заключение:

а) Для того чтобы разность двух чисел делилась на 2, достаточно, чтобы на 2 делились уменьшаемое и вычитаемое.

б) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы хотя бы один из его углов был прямым.

в) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

26. Для каждого из следующих предложений сформулируйте обратное, противоположное, обратное противоположному и установите, будет оно верным или нет:

а) Если углы вертикальны, то они равны.

б) Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то четырехугольник является ромбом.

в) Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

г) Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником или квадратом.

д) Если каждое слагаемое является четным числом, то и сумма – четное число.

е) Если произведение двух натуральных чисел делится на 6, то хотя бы один из множителей делится на 6.

ж) Сумма трех нечетных чисел является нечетным числом.

з) В равностороннем треугольнике все углы равны.