Тема 6. Отношения на множестве Контрольные вопросы по теории

1. Дайте определение бинарного отношения на множестве Х.

2. Как записать утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R?

3. Перечислите способы задания отношений.

4. Сформулируйте свойства, которыми могут обладать отношения. Как данные свойства отражаются на графе?

5. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением эквивалентности?

6. Как отношение эквивалентности связано с разбиением множества на классы?

7. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением порядка?

Практические задания

1. Приведите примеры отношений, существующих между: а) натуральными числами; б) множествами; в) прямыми на плоскости; г) треугольниками.

2. Какие из знаков >, +, , , ×, , , , , , ,  используются для записи отношений? Укажите множества, в которых обычно рассматриваются эти отношения.

3. Дано множество Х = {2; 3; 4; 5}. Перечислите все элементы декартова произведения X  X и выпишите те подмножества этого декартова произведения, которые задают отношение: а) «меньше»; б) «больше», в) «равно».

4. На множестве Х = {3; 6; 9; 12; 15; 18} задано отношение R. Перечислите пары чисел, связанных этим отношением и постройте его граф, если: а) R: «х больше у в 3 раза»; б) R: «х больше у на 3».

5. Задает ли на множестве Х = {2; 4; 6; 8} какое-либо отношение следующее множество упорядоченных пар: а) {(2; 2); (4; 4); (6; 6); (8; 8)}; б) {(4; 2); (6; 4); (8; 6)}?

6. Семья Волковых состоит из отца Михаила Петровича, матери Веры Ивановны и детей: Толи, Кати, Андрея и Оли. Между членами семьи существуют различные отношения родства. Постройте графы отношений: а) «быть дочерью»; б) «быть братом»; в) «быть матерью». Какие еще отношения существуют между членами семьи Волковых?

7. На рисунке дан граф отношения «быть братом» на множестве детей, живущих в одном доме. Кто из детей является девочкой, а кто мальчиком? О ком из ребят по этому графу нельзя ничего сказать?

●

Г

● Б

А ●

 Ж

●В



З

Е●

● Д

8. Задайте различными способами какое-либо отношение между элементами множества А = {3; 6; 9; 18; 27}.

9. На множестве натуральных чисел задано отношение Р: «быть делителем». Какие из пар (3; 15), (12; 3), (10; 150), (17; 17), (6; 15), (24; 6), (9; 1) принадлежат отношению Р, а какие – отношению Р ^–1?

10. На множестве отрезков заданы отношения «длиннее», «длиннее в 2 раза», «длиннее на 2 см». Как задать отношения, обратные данным?

11. Постройте граф отношения «легче, чем» между элементами множества {кролик, заяц, собака, поросенок}. Известно, что заяц тяжелее собаки, кролик легче поросенка, а собака тяжелее поросенка. Кто легче: кролик или собака? Кто тяжелее: поросенок или заяц? Кто из животных самый легкий и самый тяжелый?

12. Мы наблюдаем за вертолетом, орлом, дирижаблем и самолетом. Орел находится выше вертолета, вертолет – ниже самолета, но выше дирижабля, а орел – ниже самолета. Постройте граф отношения «быть выше» и выясните, в каком порядке расположились по высоте вертолет, орел, дирижабль и самолет.

13. Из лагеря вышли 5 туристов. Мы назовем их не в том порядке, в котором они идут один за другим: Вася, Галя, Толя, Лена и Миша. Толя идет впереди Миши, Лена – впереди Васи, но позади Миши, Галя – впереди Толи. Кто идет первым и кто идет последним? Кто идет вслед за Мишей и кто идет перед Мишей?

14. В нашем лесу каждый занимается своим делом и этому делу обучает других: одни плетут корзины, другие ловят рыбу. Ремеслу мы научились друг у друга. Кот учился у Выдры, Еж – у Зайца, Лиса – у Волка, Мышь – у Ежа. Бобер учил Волка и Выдру, Заяц – Белку, а Барсук – Зайца. Бобер был учеником Медведя, а Еж – учителем Дятла. Лучше всех плел корзины Еж. Чем занимается Заяц, Дятел, Волк и Лиса? Кто из зверей нашего леса раньше всех научился ловить рыбу и кто плести корзины?

15. Дано множество А = {а; b; с}, между элементами которого задано отношение Т. Постройте граф данного отношения и выясните, какими свойствами оно обладает, если:

а) Т = {(а; а); (b; b); (с; с); (а; b); (а; с); (b; с)};

б) Т = {(а; b); (b; а); (а; с); (с; а); (b; с); (с; b)};

в) Т = {(а; с); (с; а); (b; а)};

г) Т = {(а; а); (а; b); (b; а); (а; с); (с; а)}.

16. Дано множество Е = {а; b; с; d}, между элементами которого имеет место отношение Р, такое что а Р b, а Р а, b Р b, с Р с, с Р d, с Р а, d P d, d P а. Постройте граф данного отношения и выясните, какими свойствами оно обладает.

17. На множестве X = {0; 1; 2; 3} задано отношение S = {(0; 0); (1; 1); (2; 2); (3; 3); (0; 1); (1; 2); (0; 2); (1; 0); (2; 1); (2; 0)}. Определите свойства отношения S и постройте его график.

18. Отношение «быть делителем» задано на множестве Х = {5; 10; 15; 20; 25}. Постройте граф этого отношения и проверьте его свойства.

19. На множестве Х = {3; 5; 7; 9} заданы отношения: Р: «меньше», Т: «меньше на 2», М: «меньше или равно». Постройте графы данных отношений и проверьте их свойства.

20. Каковы свойства отношений «больше в 2 раза» и «больше на 2», заданных на множестве Х = {2; 4; 6; 8; 12}? В чем сходство графов данных отношений?

21. На множестве А = {2; 4; 6; 8; 12} заданы отношения «больше» и «кратно». В чем их сходство и различие?

22. Проверьте все свойства отношения Р, заданного на множестве Х, если:

а) Р: «х и у живут в одном доме», Х – множество людей;

б) Р: «х кратно у», Х – множество натуральных чисел;

в) Р: «х сестра у», Х – множество людей;

г) Р: «отрезок х длиннее у», Х – множество отрезков;

д) Р: «х учитель у», Х – множество людей;

е) Р: «х отец у», Х – множество людей;

ж) Р: «х ниже у», Х – множество людей;

з) Р: «х  у», Х – множество натуральных чисел;

и) Р: «быть старше», Х – множество студентов группы.

23. На множестве отрезков заданы отношения Р: «длиннее» и М: «иметь одну и ту же длину». Какое из них является отношением эквивалентности?

24. Х – множество прямых на плоскости. Какие из следующих отношений в множестве Х являются отношениями эквивалентности: а) «прямая х параллельна прямой у»; б) «прямая х перпендикулярна прямой у»; в) «прямая х пересекает прямую у».

25. А – множество точек плоскости, l – прямая на этой плоскости, R – отношение «точки х и у симметричны относительно оси l». Докажите, что R отношением эквивалентности не является.

26. Запишите классы эквивалентности, определяемые отношением Р, заданным на множестве X = {а; b; с; р}, если: а) Р = {(а; а); (b; b); (c; с); (p; p); (а; b); (b; a); (b; c); (c; b); (a; c); (c; a)}; б) P = {(a; a); (b; b); (c; c); (p; p); (a; b); (b; a); (c; р); (р; с)}.

27. В множестве М студентов педагогического факультета задано отношение R – «учиться на одном курсе». Докажите, что R – отношение эквивалентности. На какие классы разобьется множество М этим отношением?

28. На множестве X = {a; b; c; d} задано отношение М. Является ли оно отношением порядка, если: а) М = {(а; b); (а; с); (а; d); (b; с); (d; b)}; б) М = {(а; а); (b; b); (с; с); (d; d); (а; b); (b; с); (а; с)}?

29. На множестве А = {6; 3; 12; 9; 15} задано отношение «быть делителем». Упорядочивает ли оно множество А?

30. Сформулируйте свойства отношений «равно», «меньше», «не больше», «меньше на 2», заданных на множестве Х = {1; 3; 5; 7; 9}, и постройте их графы. Какое из этих отношений является отношением: а) эквивалентности; б) порядка?

31. Какие из следующих отношений являются отношениями эквивалентности, а какие – порядка:

а) иметь большую площадь на множестве прямоугольников;

б) подобие на множестве геометрических фигур;

в) равносильность на множестве уравнений;

г) быть выше по рейтингу на множестве студентов группы?

32. В начальном курсе математики на множестве натуральных чисел рассматриваются отношения «больше», «больше на несколько единиц», «больше в несколько раз», «непосредственно следует за». Какие из них упорядочивают множество натуральных чисел?