Решение варианта экономических специальностей (2005 год)

1. Найти 2,4% площади прямоугольного треугольника, катеты которого 18 мм и 0,035м.

Решение: 1м=100 см  0,035 м=35 см

1 см=10 мм  18 мм=1,8 см

Площадь прямоугольного треугольника: , гдеa, b – катеты треугольника; тогда (см²).

Составим пропорцию:

см² или 7,56 мм².

Ответ: 7,56 мм².

2. Решить уравнение .

Решение: Применим свойства логарифмов

и учитывая область допустимых значений для логарифмической функции, имеем следующую систему неравенств и уравнения

   

0,5 0,5 4 5 х

Видим, что пересечению принадлежит только один из корней: х₁=0,5.

Ответ: х=0,5.

3. При каких значениях х график производной функции лежит не выше прямойу=2х.

Решение: Найдем производную , используя формулы

По условию график лежит не выше прямойу₂=2х, значит, значения , тогда получаем неравенство:

.

Решаем его: .

Сначала находим корни квадратного трехчлена: .

Затем методом интервалов

+  +

 

1 2 х

Таким образом, получаем . Это можно проверить на графике. Построим параболуи прямуюу=2х.

у

2

1

0 1 2 х

Ответ: .

4. Вычислить: , если.

Решение: Преобразуем заданное тригонометрическое выражение, заменив по основному тригонометрическому тождеству :

.

По условию ,, тогда поделим числитель и знаменатель полученного выражения на, получим выражение

.

Ответ: =1,2.

5. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии в 1,75 раза больше суммы кубов всех ее членов. Найти знаменатель этой прогрессии, если ее первый член равен 1.

Решение: Обозначим знаменатель искомой геометрической прогрессии q. Так как член ее равен 1, то прогрессия имеет вид: 1; . Сумму ее находят по формулеили. Тогда сумма кубов всех членов прогрессии равна. По условию, то получаем уравнение и решаем его:

Поскольку геометрическая прогрессия убывающая, выбираем для ответа .

Ответ: .

Решение варианта инженерных специальностей (2004 год)

1. Решите уравнение: .

Решение:

Приведем обе части уравнения к одному основанию: ,

.

Используя свойство степени , получаем

,

откуда .

2. Решить систему неравенств:

Решение:

Умножим обе части заданных неравенств на 6 (6>0  знаки неравенств сохраняются).

Построим решения на числовой прямой и укажем их пересечение.

2 х

Ответ: .

3. При каком значении параметра а прямая проходит через точкуМ(1;2). Найти угловой коэффициент найденной прямой и построить ее график.

Решение:

Прямая проходит через точку М, то координаты точки М подставим в уравнение прямой:

.

Тогда уравнение прямой имеет вид:

или .

Очевидно, что угловой коэффициент k=2. Для построения графика прямой:

х	0	1
у	0	2

2

1 х

4. Решить уравнение и найти его корни, принадлежащие промежутку.

Решение:

Применим формулу для уравнения:

.

Тогда получаем , отсюда.

Если .

Если .

Если .

Ответ: Корни уравнения из промежутка будут.

5. Скорость мотоциклиста на 40 км/ч больше скорости велосипедиста, поэтому на путь 30 км мотоциклист затратил на 1 ч меньше, чем велосипедист. Сколько на этот путь тратит времени велосипедист?

Решение:

Обозначим

	t	S	V
велосипедист	x ч	30 км		.
мотоциклист	(x–1) ч	30 км

Решаем уравнение, умножая обе его части на  получим

Ответ: велосипедист затратит 1,5 часа.