Понятие о рекуррентных формулах

Иногда интегрирование по частям позволяет получить соотношение между неопределенным интегралом, содержащим степень некоторой функции, и аналогичным интегралом, но с меньшим показателем степени той же функции. Подобные соотношения называются рекуррентными формулами.

Выведем рекуррентную формулу для интеграла , гдеn – целое положительное число.

 При n=1 имеем табличный интеграл .

Пусть n1. Представив единицу в числителе как разность , получим

.

Во втором интеграле применим метод интегрирования по частям:

, ,,.

Тогда . Следовательно,

, откуда .

Таким образом, интеграл выражен через:

(n1) . 

Проверим нашу готовность приступить к интегрированию основных классов элементарных функций, вычислив интеграл , последовательно применяя методы непосредственного интегрирования, подведения функции под знак дифференциала и интегрирование по частям.



. 

Вычислим также интеграл

I=

Далее полагаем u=e^ax , dv=cosbxdx, du=ae^axdx, v=sinbx. Следовательно

Получаем уравнение относительно неизвестного интеграла I. Решая его, находим

или=.

Лекция 4.

Интегрирование основных классов элементарных функций

1. Интегрирование рациональных дробей

а) Интегрирование простейших дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , гдеи- многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочленаниже степени многочлена; в противном случае дробь называется неправильной. Например, дроби,- правильные, а дроби,- неправильные.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

1. ;

2. , где m – целое число, большее единицы;

3. , где 0, т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;

4. , где n – целое число, большее единицы и квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, p, q, а – действительные числа. Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III и IV типов.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей.

1. .

2. , m=2, 3, 4...

Вычислим далее .

Для этого частного случая простейшей дроби III типа получаем:

, или , где,.

Следовательно,

. ()

Для нахождения интеграла (0) выделим в числителе дроби производную знаменателя. Так как , то числитель можно представить в виде.

Тогда .

В первом интеграле числитель является производной знаменателя. Поэтому

т.к. 0 для любого значения х.

Учитывая, что второй интеграл, как показано выше, находится по формуле (*), окончательно получаем:

III. .

Покажем теперь в общем виде, как интегрируются простейшие дроби четвертого типа:

IV. .

Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена в знаменателе:

.

Первый интеграл в правой части равенства легко находится при помощи подстановки , а второй преобразуем так:

.

Полагая ,и обозначая, получаем:

.

Для интеграла (n – целое положительное число), имеет место следующая рекуррентная формула:

. (**)

(В частном случае, при а=1 ее вывод представлен выше).

Эта формула в результате (n-1)-кратного применения приводит данный интеграл I_n к табличному интегралу .

Рассмотрим примеры. (см. также интеграл 16 в приложении)

Пример 1. Найти .

 Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, отрицателен: 0, т.е. имеем интеграл III типа. Так как , то числитель дроби преобразуем следующим образом:.

Поэтому .

Оставшийся интеграл находим выделением полного квадрата в квадратном трехчлене:

.

В результате заданный интеграл равен

. 

Рассмотрите также пример 32, представленный в приложении.

Пример 2. Найти.

 Здесь  0, т.е. имеем интеграл IV типа. Сначала выделим в числителе производную квадратного трехчлена. Так как , то числитель преобразуется следующим образом:.

Далее имеем: .

Первый интеграл вычисляем, положив

.

Для вычисления оставшегося интеграла приведем его к стандартному виду, выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене:

.

Используя рекуррентную формулу (), находим:

.

Окончательно получаем:

. 

б) Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби

Для интегрирования рациональной дроби надо сделать следующие преобразования и вычисления.

1) Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде , где М(х) – многочлен, а - правильная рациональная дробь. Выделение целой части в дробипроизводится делением числителя на знаменатель "уголком".

Пример 3.

=

Выделить целую часть данной неправильной рациональной дроби.

 х ³+3х² +5х +7 х+2

x ³ + 2х x+3+3x+1

3x ² + 3x+ 7 х ² +2

3х ² + 6

3х + 1

Следовательно, .

2) Найти корни уравнения и разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:……, где 0,  0, т.е. трехчлены имеют комплексно сопряженные корни.

Представленное разложение основано на теоремах высшей алгебры. Доказывается, что каждый многочлен может быть представлен в виде произведения

(*)

где - коэффициент при старшей степени многочленакорни уравненияQ(x)=0. Если среди множителей имеются совпадающие, то Q(x) представляют в виде (**)

где целые числа, которые соответственно называются кратностями корней

,причемгдеn- степень многочлена Q(x).

Среди корней представления (**) могут быть комплексные. Эти корни входят

сопряженными парами и,где. Перемножив эти два множителя, получим

где

Таким образом, представление(**) можно записать в виде

(1)

где действительные числа.

Обозначения, используемые в(1),принимаем для удобства записи разложения (2) (см. ниже).

Пример 4. Найти корни знаменателя правильной дроби .

 Легко видеть, что многочлен обращается в нуль прих = - 1, поэтому он делится без остатка на х+1.

Выполним деление:

х ³+6х ²+11х+6 х+1

x ³ + х ² x ²+5x+6

5x ² + 11x

5х ² + 5х

6х + 6

6х + 6

Следовательно, 

3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

………+

…

…… , (2)

где А₁, А₂,…А_к, В₁, В₂,…В,… К₁, К₂,…К_m,… L₁, L₂,…L_m,… M₁, M₂,…M_n,… N₁, N₂,…N_n – некоторые вещественные числа.

Это разложение регулируется теоремой, доказываемой в высшей алгебре, согласно которой рациональную функцию , в которой степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе, а многочленQ(x) имеет вид (1), можно единственным образом представить в виде (2).

Примеры записи разложения правильной рациональной дроби на элементарные:

Пример 5.

Пример 6.

4) Вычислить неопределенные коэффициенты, для чего привести равенство (2) к общему знаменателю, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

Пример 7. Дробь разложить в сумму простейших.

 Искомое разложение имеет вид: .

Приводя правую часть к общему знаменателю, получим тождественное равенство

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях х дает систему уравнений:

,,, откуда получаем.

Следовательно, искомое разложение будет иметь вид:

. 

Можно определить коэффициенты А, , идругим способом, придавая в полученном тождестве переменнойх произвольные числовые значения (в первую очередь значения действительных корней знаменателя Q(x)): х = 0, х = 1 и, например,

х = -1. При х = 0 находим А = 4, при х = 1 получаем В₂=9, а при х = -1 имеем , т.е.В₁ = -3.

Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.

5) Найти интегралы выделенной целой части и всех простейших дробей, которые затем сложить.

Пример 8. Вычислить интеграл .

 Так как , то представим дробь в виде следующей суммы:

, т.е. или.

Итак, .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества, составим систему уравнений: .

Решив систему, получим ,,.

Следовательно,

. 

Проведите самостоятельно вычисление интегралов 17 и 41 (см. приложение).

В заключение отметим, что в ряде случаев возможно интегрирование рациональных дробей без разложения на простейшие дроби:

.

Лекция 5.