4. Интегралы вида .
Данные
интегралы рационализируются подстановкой
.
Действительно, так как
и
,
то
,
гдеR(t)– рациональная функция отt.
Пример
31. Найти
.
Полагаем
,
.
Следовательно,
Пример
32. Найти
.
Разложим подинтегральную функцию на простейшие дроби:
Пример 21, представленный в лекции 2, также иллюстрирует способ рационализации интегралов рассмотренного вида.
Проанализированные методы и приемы интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически интегрируемых элементарных функций.
Понятие об интегралах, не выражающихся через элементарные функции
Как было отмечено в § 1, если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то на этом промежутке существует функция F(x) такая, что F '(x) = f(x), т.е. существует первообразная для функции f(x).
В
этом случае говорят, что
“берется”, выражается через элементарные
функции. Следует, однако, заметить, что
не всякая элементарная функция
имеет
в качестве своей первообразной
элементарную же функцию
.
Если интеграл не выражается через
элементарные функции, то говорят, что
интеграл “не берется” или “его нельзя
найти”. Нельзя, например, взять интегралы
,
,
,
,
так как не существуют элементарные
функции, производные от которых были
бы равны соответственно
,
,
,
.
К числу “не берущихся” интегралов
относится интеграл Пуассона
,играющий
важную роль в теории вероятностей,
интегралы Френеля
,
,
интегральный логарифм
,
интегральные синус и косинус
,
,
а также
и
.
В заключение напомню известную истину, что никакая лекция, какой бы полной и понятной она Вам ни показалась, не может охватить круг рассматриваемых в ней вопросов в полном объеме. Необходимо работать самостоятельно над литературой, рекомендованной учебным планом. Но и ею не следует ограничиваться. Издается множество пособий, в которых Вы найдете для себя новое и поучительное. Именно так поступают наши отличники – «суперзвезды». Вот только один пример. Алеся Черняева (КШ–042) обратила мое внимание на так называемый «метод стрелок», который можно использовать при интегрировании по частям. Он изложен в книге «Сборник задач по высшей математике», которую написали К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин (ему, как указано, принадлежит авторство этого метода) и Ю. А. Шевченко1*
Привожу цитату из этой книги:
«Более наглядно и просто интегрирование по частям записывается с помощью эквивалентного метода стрелок
'
то есть при
интегрировании произведения двух
функций под каждой из них рисуется
стрелка, при этом на конце одной стрелки
(интегральной
)
пишется
первообразная
соответствующей функции, а на конце
другой 
( дифференциальной ' ) – производная второй функции; тогда в правой части
равенства получается произведение функции, стоящей на конце интегральной стрелки, на функцию в начале другой стрелки (эти функции соединены пунктиром в формуле) минус интеграл от произведения функций на концах стрелок. Или, более кратко, справа получается: конец интегральной стрелки на начало другой минус интеграл от произведения функций на концах стрелок».*
Ниже Алеся демонстрирует вычисление двух интегралов, основанных на этой методике.
Пример
1.Найти
.
'
Пример 2.Найти
'
2 
Приложение
Из всего изложенного следует, что техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием. Необходимы определенные навыки, которые приобретаются на практике в результате решения большого числа примеров.
Ниже представлены образцы вычисления некоторых интегралов.
1.
2.
.
3.
4.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
10.
.
11.
.
12.
13.
.
14.
.
15.
16.
.
17.
.
.
.
18.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
(смотри
лекцию 4, пример 8).
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
29.
.
30.
31.
32.
Рассмотрим другой подход к вычислению
интеграла 32
Вернувшись к исходной переменной x,получаем ответ, представленный выше
33.
34.
=
35.
Ниже представлены интегралы из §10 “Смешанные примеры на интегрирование “ из “Сборника задач по высшей математике “ В.П.Минорского, которые я включаю в приложение по просьбе обращавшихся ко мне студентов.
36.
37.
38.
=
39.
40.
41.
Преобразование подинтегральной функции:
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
И, наконец, еще 3 интеграла также из §10 сборника задач В.П. Минорского, вычисление которых вызывает радость, граничащую с наслаждением.
49.
50.
51.
