ЛА Билеты расписанные

Билет 22.

Ортогональные подмножества унитарного пространства. Ортогональное дополнение подмножества. Теорема о разложении унитарного пространства в прямую сумму подпространств. Следствия.

Определение Два множества элементов и унитарного пространства V называются ортогональными, если "xÎ ортогонален "yÎ

Утверждение Если ортогонален ( ), то их пересечение либо пусто, либо состоит только из нулевого элемента

Доказательство Пусть aÎ тогда aÎ и aÎ ( , ) = 0 = # Определение Пусть G – произвольное непустое подмножество унитарного пространства V. Совокупность всех элементов из V ортогональных к G, называется ортогональным дополнением G до V и обозначается ^.

Иначе, ^ = { : ( ; ) = 0, }

Утверждение Ортогональное дополнение ^ любого непустого множества Gявляется линейным подпространством пространства V.

Доказательство Действительно, если x,yÎ ^, а z- произвольный из G, то ( + , ) =( , ) + ( , ) = 0 Следовательно, для " , и , ^ + ^ Следовательно, ^ является линейным подпространством пространства V. #

Теорема Унитарное пространство # есть прямая сумма " своего линейного подпространства G и его ортогонального дополнения ^, т.е. # = ^

Доказательство Пусть G (dimG=k) есть произвольное подпространство пространства

#. Выберем в некоторый ОНБ !, ", … ' его можно дополнить элементами '+!, '+" … # до базиса во всем пространстве #. Оставляя векторы !, ", … ' неизменными, ортогонализируем

всю систему методом Шмидта. Получим ОНБ !, ", … ', '+! … # всего пространства # причем

!, ", … ' − ОНБ подпространства G. Очевидно, что ( '+!, '+" … , #)= ^

= ∑#%-! % % = ∑'%-! % % + ∑#%-'+! % % = ? + " ( ),

Для завершения доказательства теоремы достаточно доказать единственность разложения (*)

Билет 23.

Понятие линейного оператора и основные операции над ними. Примеры линейных операторов. Линейное пространство L(х,у).

Определение

Пусть и – линейные пространства. Оператором действующим из в называется правило (закон), по которому ставится в соответствии единственной .

Обозначение = , – прообраз элемента .

Определение Оператор действующий из в называется линейным, если для !, " и

, ( ) выполнено ( ! + ") = ! + "

Некоторые операторы имеют специальные названия.

Определение

Линейный оператор, действующий из в ( ) называетcя линейной формой или линейным

функционалом.

Определение

Линейный оператор, действующий из в называется линейным преобразованием пространства .

Замечание

Действие линейного оператора на определяется единственным образом, если известны образы !, ", … , # векторов !, ", … #, составляющих базис пространства .

Утверждение

Линейный оператор , действующий из в . Нулевой элемент 0 пространства X переводит в нулевой элемент D пространства , т.е. 0 = D

Доказательство

В самом деле 0 = 0 × значит A 0 = (0 × ) = 0 × = 0 × = D #

Утверждение

линейный оператор линейно зависимую систему векторов переводит снова в линейно зависимую систему.

Доказательство

Действительно, если !, … # из линейно зависимы, то !, ", … , # : ∑#%-!| %| ≠ 0 ! ! + +

# # =

Тогда согласно предыдущему утверждению, ( ! ! + + # #) = ! ! + + # # =

A !, A ", … A # – линейно зависимы #

Определение

Два линейных оператора и называются равными, если для =

Определение

Суммой 2-х линейных операторов и , действующих из в называется оператор + такой, что для ( + ) = +

Определение

Произведением линейного оператора на число ( )называются оператор такой, что длявыполняется ( ) = ( )

Замечание

Очевидно, что если операторы и – линейные, то оператор + и также линейные.

Определение

Оператор, который ставит в соответствие нулевой элемент называется нулевым оператором и обозначается , т.е. для , =

Определение

Пусть - линейный оператор, действующий из в . Оператор = (−1) называется оператором противоположным оператору . Его принято обозначать (− ).

Обозначим через ( ; ) − множество всех линейных операторов, действующих из в .( ; ) будем обозначать ( ).

Утверждение

Множество ( ; )- есть линейное пространство.

Доказательство

Из определения следует, что операции сложения и умножения на число не выводят из этого множества. Кроме того, и для ( ; ) (− ). Нетрудно убедиться, что операции сложения операторов и умножения на число удовлетворяют всем аксиомам. # Далее будем иметь дело с ( ).

Определение

Оператор называется тождественным или единичным, если он ставит в соответствие этот же элемент , т.е. по определению = , для .

Определение

Пусть и операторы из ( ). Тогда произведением операторов и называется такой оператор, который действует по правилу ( ) = ( ) для .

Утверждение

Если и линейные, то также линейный.

Доказательство

Для , и , имеем

( )( + ) = ( ( + )) = ( + ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) # В общем случае ≠

Утверждение

Справедливы следующие свойства операторов из ( ). 1) ( ) = ( ) ; 2)( + ) = + ; 3) ( + ) = + ; 4)( ) = ( )

Доказательство

Свойство1) Следует из определения умножения операторов Свойство2) для имеем (( + ) ) = ( + )( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) =

( + ) , то есть (( + ) ) = ( + ) для . Тогда по определению ( + ) =

+

Свойство 3) доказывается так же, как и 2)

Свойство 4) (( ) ) = ( )( ) = ( ( )) = (( ) ) = ( ( )) , т.е. (( ) ) = ( ( ))

для Следовательно, ( ) = ( )#

Следствие

Свойство 4 дает возможность определить произведение конечного числа операторов из ( ).

Примеры операторов

Пример 1)

Рассмотри линейное пространство " В нем рассмотрим оператор, который " ставит в соответствие ", получаются из поворотом на угол вокруг начала координат. Он, очевидно, линеен. Он называется оператором поворота плоскости " на угол .

Пример 2)

В 6: = [ , ] для 6, - фиксированный вектор из 6

Пример 3)

В пространстве { #( )} = # оператор задается равенством:

( ) = __` ( ( )), для ( ) #

Пример 4)

В С[ ; ]: ( ) = ∫.2 ( ) ( ) , где ( ) - фиксированная функция

Пример 5)

В произвольном пространстве оператор задается равенством: = для . Это оператор «растяжения».

Пример 6)

Пусть = ’ ′′ тогда для = ’ + ’’ оператор определяется равенством:

= ? + ′′. Это оператор «растяжения» с коэффициентом в подпространстве ’ и с коэффициентом в подпространстве ’’

Пример 7)

Полагая в предыдущем примере l = 1, µ = 0, получим оператор, называемый оператором проектирования пространства на подпространство ′ в направлении подпространства ′′. Иначе оператор проектирования определяется: если = ′Å ′′, то для = ′ + ′′, где′Î ′, ′′Î ′′, то = ′. Очевидно, это линейный оператор.

Билет 24 Образ и ядро линейного оператора. Теорема о сумме размерностей образа и

ядра оператора. Обратная теорема.

Определение

Множество всех векторов Î : = , Î называется областью значений или образом оператораи обозначается .

Q | %| ≠ 0: '+! '+! + + # # =

%-'+! Тогда ( '+! '+! + + # #) = .

Рассмотрим вектор

Следовательно, $ !, ", … ':

= ! ! + ! " + + ! ' ( )

Таким образом, для Î # $ два различных разложения, чего быть не может. Полученное противоречие и доказывает линейную независимость '+!, '+", … , #.

2) Докажем, что для " Î существует разложение по элементам '+!, '+", … , #. Действительно, пусть - произвольный элемент из .

Тогда $ Î #: = .

Разложим по базису !, ", … , # пространства #: = l! ! + + l# #.

Билет 25

Обратный оператор и его свойства. Критерий обратимости линейного оператора.

Определение

Если для оператора ( ) оператор : = = , то называется обратным по отношению к. Обозначение = *!.

Утверждение

Если для ( ) $ *!, то

1)*! ( )

2)*! единственный

Доказательство

1)*!( + ) = *![ ( *!) + ( *!) ] = *![ ( *! ) + ( *! )] = *! ( *! +*! ) = *! + *!

2) Пусть ! = *! и " = *!. Тогда ! = ! = !( ") = ( ! ) " = " = " #

Определение

Оператор ( ) действует взаимно однозначно в , если различные элементы из оператор переводит снова в различные элементы.

Утверждение

Пусть ( ) действует взаимно однозначно в , тогда оператор отображает на себя, т.е " элемент из имеет в прообраз.

Доказательство

Покажем, что оператор A " базис !, ", … , # пространства снова переводит в базис

!, ", … , # этого же пространства. Для этого достаточно показать, что " n линейно независимые элементы !, ", … , # оператор А переводит в линейно независимые элементы !, ", … , #. Итак, пусть !, ", … , # - линейно независимы. Пусть l! ! + l" " + + l# # = (*)

Т о в силу линейности A имеем (l! ! + l" " + + l# #) = . Так как A действует взаимно однозначно, то l! ! + l" " + + l# # = 0. Следовательно, !, ", … , # линейно независимы и поэтому образуют базис в X.

Далее пусть Î . Тогда $ !, ", … , #:

= ! ! + " " + + # # = ( ! ! + " " + + # #)

Следовательно, = ! ! + " " + + # # - прообраз элемента . #

Теорема (Критерий обратимости оператора)

Оператор Î ( #) обратим тогда и только тогда, когда действует взаимно однозначно в #.

Полученное противоречие показывает и доказывает, что A действует взаимно однозначно. Достаточность Пусть действует взаимно однозначно. Тогда по предыдущему утверждению для " Î # $ Î #:

= (1)

Таким образом, для " Î # ставится в соответствие Î #, то есть определён оператор B:

= (2)

Причем = . Подставляя в (1) представление (2), получим:

= = ( ) = ( ) для " Î #

Следовательно, = Аналогично, подставляя в (2) выражение (1), получим

= = ( ) = ( ) , для " Î #

Следовательно, = Þ обратим. #

Билет 26 Матрица линейного оператора. Представление линейного оператора в данном

базисе при помощи матрицы. Матрица суммы операторов, произведения оператора на число, произведения операторов и обратного оператора. Примеры.

и ′ - транспонированная к .

Определение

Матрица называется матрицей линейного оператора в базисе [ ].

Замечание

Равенства (*) можно записать в виде: ' = ∑#%-! %' %, = ,,1,,, ( )

Утверждение

1)" Î ( #) можно поставить в соответствие матрицу в базисе [ ], причём определена однозначно

2)Пусть в задан базис [ ] и задана квадратная матрица = [ %&] -ого порядка. Тогда

$ ! Î ( #), матрица которого в базисе [ ] = .

Доказательство

1)Для " Î ( #) следует, что $ f. Это следует из определения, а единственность следует из единственности разложения по базису.

2)Для задания оператора достаточно задать его на базисных векторах. Поставим в соответствие

Утверждение

Если два оператора и равны, то равны и их матрицы в " базисе и обратно, если матрицы и операторов и равны в каком-нибудь базисе [ ], то и соответствующие им операторы и также равны.

Доказательство

Из определения равенства 2-х операторов имеем для " [ ] имеем ' = ', = 1,,,,, Тогда из единственности разложения по базису и определения матрицы линейного оператора

имеем = Обратное утверждение следует из предыдущего утверждения #

Основная лемма

Если для " E↓F Î # имеет место равенство E↓F = E↓F, где и - квадратные матрицы порядка

, то = .

Доказательство

Возьмём в равенстве ↓ = ↓ ↓ = [ ]′ = (0,0, … ,1,0, … ,0) (1 на k-ом месте) и воспользуемся

определением равенства матриц. #

Утверждение

Если Î ( #), Î ( #), а и соответственно их матрицы в базисе [ ], то

1)( + ) = +

2)(l ) = l

3)( ) =

4)если обратим, то ( −1) = ( )−1

Доказательство

1)Согласно определению суммы операторов имеем: ( + ) = + для " Î #. Записывая это