ЛА Билеты расписанные

Билет 33 Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Теорема

Пусть [ ] и [ ̂] два базиса в #, а – матрица перехода от базиса [ ] к [ ̂]. Тогда матрицы f и f̂ билинейной формы ( , ) в базисе [ ] и [ ̂] соответственно связаны соотношением: f̂= ? f

Доказательство

Известно, что ( , ) = [0↓], f [D↓] и ( , ) = [0s↓], f̂[D↓s].

Из этих двух равенств имеем: [0s↓], f̂[D↓s] = [0↓], f [D↓].

Так как [0↓] = [0↓s], [D↓] = [D↓s], то [0s↓], f̂[D↓s] = ‘ [0↓s]’? f [D↓s] = [0s↓], ? f [D↓s].

Далее, применив два раза основную лемму, получим f̂= ? f

Билет 34 Квадратичные формы в линейном пространстве. Полярная билинейная форма.

Приведение квадратичной формы к диагональному виду методом Лагранжа.

Определение

Пусть ( , ) – симметрическая билинейная форма. Функция ( , ), которая получается из ( , ) при = называется квадратичной формой.

( , ) называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме ( , )

Утверждение

Полярная форма ( , ) однозначно определяется своей квадратичной формой.

Доказательство

( + , + ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) + ( , ).

В силу симметрии ( , ) = !" ‘ ( + , + ) − ( , ) − ( , )’

Следствие

Между квадратичными формами и симметричными билинейными формами взаимно однозначное соответствие.

симметрична (в силу следствия).

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Теорема Лагранжа

Любая квадратичная форма ( , ) в вещественном линейном пространстве VL при помощи невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к диагональному (каноническому) виду (т.е к виду ( , ) = !y!" + λ"y"" + … + λLyL", где −новые переменные).

Доказательство

Будем доказывать теорему методом математической индукции.

1)При = 1, тогда ( , ) = !!х!" = !х!", т.е утверждение теоремы очевидно.

2)Предположим теперь, что ≥ 2 и для квадратичных форм от ( − 1) переменной теорема справедлива.

3)Докажем теорему для n-переменных. ( , ) = ∑#%,&-! % & %&. Предположим, что ( , ) ≠ 0, т.к в противном случае она имеет канонический вид с λ! = λ" = = λ# = 0. Покажем, что с помощью

невырожденного преобразования переменных квадратичную форму ( , ) можно преобразовать так, что коэффициент при х!" равный a!! будет отличен от 0.

Действительно,

1)если a!! ≠ 0, то это преобразование тождественное.

2)если a!! = 0, но = ,,2,,,: a'' ≠ 0. Тогда, переобозначив переменные, т.е сделав преобразование вида: x! = ', xJ = !, x/ = % при = 1, ≠ . Это преобразование, очевидно, невырожденное.

3)остается рассмотреть случай, когда a!! = "" = = ## = 0. Тогда т.к ( , ) ≠ 0, то a%& ≠ 0, xJ = J

≠ . Сделаем преобразование 4x/ = / − x, где ≠ , ≠ , детерминант которого равен 2 при > xx = / + x

и (-2) при > . Следовательно, это преобразование невырожденное. После выполнения этого

преобразования получим: ( , ) = 2 %&‘ / − x’‘ / + x’ + ∑#J,yz/,x ' , ', = 2 %&y/" − 2 %&yx" +

∑#',,z%,& ' , ',, т.е получили при y/" коэффициент 2 %& ≠ 0. Следовательно, мы пришли к случаю №2, от которого, как было показано, сделав невырожденное преобразование мы можем прийти к

( , ) = a!!ξ!" + В(ξ" … ξ#). По предположению индукции невырожденное преобразование

ξ" = α""η" + + α"#ηL … :

ξL = αL"η" + + αL#ηL

Приводящее квадратичную форму B к диагональному виду(каноническому): ( , ) = α"η"" + +

α#η"# .

Для нашей исходной квадратичной формы ( , ) за преобразованием ( ) выполним следующее

ξ! = η!

преобразование переменных!ξ" = α""η" + + α"#ηL ( )

…

ξL = αL"η" + + αL#ηL 1 0 … 0

Определитель этого преобразования равен 80 α"" … α"# 8 ≠ 0

… … … … …

0 αL" … αL#

Следовательно, преобразование ( ) невырожденное. После выполнения этого преобразования

( , ) примет вид ( , ) = α!η!" + + α#η"#

Теорема доказана.

Замечание

Метод док-ва теоремы дает конструктивный метод приведения квадратичной формы к каноническому виду. В конкретном примере для приведения ( , ) к каноническому виду необходим процесс выделения квадратов, продолжающийся до тех пор, пока не придем к форме с нулевыми коэффициентами или к форме от одной переменной.

Определение

Базис, в котором ( , ) имеет канонический вид, называется каноническим. Очевидно, он определяется неоднозначно и не является в общем случае ОНБ. Тогда теорему Лагранжа можно сформулировать так:%

Теорема Лагранжа

Для любой квадратичной формы существует канонический базис.

Билет 35 Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.(без док-ва)

Пусть в базисе [ ] квадратичная форма ( , ) имеет вид ( , ) = ∑L/,&-! % & %& и пусть все главные миноры матрицы Aw отличны от нуля. Тогда базис [ ̃] в котором квадратичная форма ( , )

Билет 36 Закон инерции квадратичных форм.

формы.

Теорема (закон инерции квадратичных форм)

Число положительных коэффициентов в представлении ( ), называемое положительным индексом инерции, число отрицательных коэффициентов, называемое отрицательным индексом инерции и число нулевых коэффициентов, называемое дефектом квадратичной формы, являются инвариантом квадратичной формы, т.е не зависят от базиса, в котором данная квадратичная форма имеет нормальный вид.

Доказательство

2) Следует из пункта 1). Действительно, ( , ) отрицательно определенна когда (−1) ( , ) – положительно определена. Очевидно, что матрица квадратичной формы (−1) ( , ) в базисе [ ]

имеет вид (−1) f. Из пункта 1) тогда имеем что (−1) ( , ) положительно определенна когда

(−1)' ' > 0 для = ,,1,,, .

Билет 39 Представление линейной формы в унитарном пространстве.

Теорема Рисса

Для " линейной формы ( ), определенной в унитарном пространстве # существует единственный элемент #: ( ) = ( , )

Доказательство Пусть [ ] = [ !, ", … , #] ОНБ в #. Тогда для : = ∑#'-! ' ' получим ( ) =

∑#'-! ' ( ')

Возьмем за k-тую координату вектора число ' = ,,,,,,,( '). Тогда ( ) = ∑#'-! ' ( ') = ∑#'-! ',,,' = ( ; )

Докажем единственность . Пусть еще один D: ( ) = ( , D) Вычитая одно представление из

другого, получим ‘ , − D’ = 0 для " #

Полагая = − D, получим ‘ − D, − D’ = 0 − D = 0 = D #