ЛА Билеты расписанные

Билет 28 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Характеристическое уравнение. Теорема о нахождении собственных векторов линейного оператора. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения и связь между ними.

Пусть Î ( #)

Теорема

Для того чтобы l0 было собственным значением оператора , необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения det( − l ) = 0 оператора , причем этому собственному значению соответствует − линейно независимых собственных векторов оператора, где

= ( f − l9 )

Поэтому корни этого уравнения и только они являются собственными значениями оператора .

Определение

Алгебраической кратностью собственного значения l0 называется его кратность как корня характеристического уравнения.

Определение

Если собственному значению l0 соответствует ( ≥ 1) линейно-независимых собственных векторов, то называется геометрической кратностью собственного значения l0 оператора .

Утверждение

Для " оператора Î ( #) геометрическая кратность " собственного значения l0 не превосходит его алгебраическую кратность.

Доказательство

Пусть l0 - собственное значение оператора алгебраической кратности . Тогда характеристический многочлен (l) = det( − l ) = (l − l0) − (l) ( ), − (l0) ≠ 0. Далее пусть l0 имеет геометрическую кратность . Тогда $ K-линейно независимых собственных векторов 1, 2, … , . Дополним их векторами +1, … , до базиса . В этом базисе матрица имеет вид

, где - матрица порядка × ( − )

Тогда, очевидно, (l) = det( − l ) = (l − l0) − (l), где − (l) - некоторый многочлен степени ( − ). Следовательно, из (*) получаем, что ≤ #

Замечание

Геометрическая кратность может быть и строго меньше алгебраической. Например, Î ( ") в базисе [ ] = [ 1, 2] имеет матрицу = 010 111. Тогда l0 = 1 - собственное значение оператора имеет алгебраическую кратность 2, а геометрическую 1.

Билет 29 Инвариантное подпространство относительно оператора А. Примеры. Свойства

собственных векторов линейного оператора.

Инвариантное подпространство

Определение

Линейное подпространство 3 называется инвариантным относительно оператора , если для, вектор также принадлежит 3.

Пример

Свойства собственных векторов линейного оператора. Свойство 1

Если – собственный вектор оператора ( #), отвечающий собственному значению , то и для≠ 0, – также собственный вектор оператора , отвечающий этому же собственному значению

.

Свойство 2

Если 1, 2, … , – собственные вектора оператора ( #), то линейная оболочка ( !, ", … , $) есть инвариантное подпространство оператора .

Свойство 3

Если собственному значению 0 отвечает ЛНЗ собственных векторов 1, 2, … , , то ненулевой вектор ( !, ", … , ') также является собственным вектором оператора , отвечающий этому же значению 0.

Свойство 4 (Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям)

Теорема

Если 1, 2, … , – собственные вектора оператора ( #) и отвечающие им собственные значения 1, 2, … , , то есть ≠ при ≠ , то 1, 2, … , – линейно независимы.

Доказательство Свойство 1

следует из определения собственного вектора и собственного значения.

Свойство 2

Пусть 1, 2, … , – собственные векторы, отвечающие собственным значениям 1, 2, … , , то есть

' = ' ', = 1,,,,,,.

Для ( !, ", … , $) имеем = ! ! + " " + + $ $. Тогда = (∑$'-! ' ') =

∑$'-! ' ' = ∑$'-!( ' ') ' ( !, ", … , $).

Свойство 3

Если x ( !, ", … , '), то = ! ! + " " + + ' '. Тогда это свойство следует из

= ( ! ! + " " + + ' ') = ! ! + " " + + ' ' = ! 9 ! + " 9 " + + ' 9 ' =9( ! ! + " " + + ' ') = 9 .

Свойство 4

Докажем теорему методом математической индукции.

1)Для = 1 утверждение очевидно

2)Предположим, что утверждение теоремы справедливо для ( − 1) вектора

3)Докажем ее для – векторов

Из свойства 4 следует, что !, ", … , # – ЛНЗ, но тогда они образуют базис, так как = dim #.

Билет 30 Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Два критерия

диагонализируемости матрицы линейного оператора. Практический способ приведения матрицы к диагональному виду.

Определение

Квадратная матрица = ” %&• - n −ого порядка называется диагональной, если = 0 при ≠

Утверждение

Если 1, 2, … , – ЛНЗ собственные вектора оператора ( #) ‘ & = & & , = 1,,,,,’, то

матрица оператора в базисе [ ] = [ 1, 2, … , , +1, … ] имеет вид:

Доказательство

Непосредственно следует из определения матрицы

Теорема

Матрица оператора ( #) в базисе [ ] = [ 1, 2, … , ] имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда базисные векторы 1, 2, … , являются собственными векторами оператора .

При этом матрица в базисе из собственных векторов имеет вид:

Доказательство

Достаточность Если базис [ ] состоит из собственных векторов, то согласно определению матрицы линейного

Необходисость

Пусть в данном базисe [ ] – диагональная. Тогда, очевидно, для = ,,1,,, имеем A % = % %, то есть 1, 2, … , – собственные вектора оператора

Теорема

Если 1, 2, … , – различные собственные значения оператора ( #), то базис, в котором имеет диагональный вид.

Доказательство

Согласно следствию из теоремы о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям 1, 2, … , следует, что собственные вектора 1, 2, … , образуют базис из собственных векторов. Но тогда в силу предыдущей теоремы матрица в этом базисе имеет диагональный вид

Замечание

Обратное утверждение неверно. Например: для тождественного оператора I матрица оператора

1 0 … 0

имеет вид = (0 1…… 0) – диагональная, а собственные значения 1 = 2 = = = 1 кратны.

0 … 0 1

Теорема

Для того, чтобы существовал базис 1, 2, … , , в котором матрица оператора ( #) имела диагональный вид необходимо и достаточно, чтобы для собственного значения оператора его алгебраическая кратность совпадала с геометрической.

1, … , = 1, то на диагональной матрице ( ) при = ! первые 1 строк равны нулю, а остальные строки отличны от нуля. Поэтому ( f − ) = − !, а тогда собственному значению 1

Следует из равенства ( ) = ! ! + " " + + # #

Замечание

Вывод

При переходе от базиса [ ] к [ ̂] координаты линейной формы изменяются по такому же закону, как и элементы базиса.

Билет 32

Билинейные формы в действительном линейном пространстве, их представление через координаты. Разложение билинейной формы на сумму симметричных и кососимметричных составляющих. Матрица билинейной формы.

Определение

Пусть – вещественное линейное пространство. Билинейной формой над называется числовая функция ( , ) двух переменных и линейная по первому и второму аргументу, то есть для , , и , :

1)( + , ) = ( , ) + ( , )

2)( , + ) = ( , ) + ( , )

Пример 1

Если ( ) и ( ) – линейные формы в пространстве , то их произведение ( ) ( ) - билинейная форма.

Пример 2

В #: ( , ) = ∑#%,&-! %& % & – билинейная форма

Пример 3

В [ , ], ( , ) = ∫.2 ∫.2 ( , ) ( ) ( ) , где ( , ) – некоторая фиксированная функция, непрерывная в [ , ] [ , ].

( , ) – билинейная форма.

Утверждение

билинейную форму ( , ) единственным образом можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейной формы.

Доказательство

Заметим, что ( , ) = !" ‘ ( , ) + ( , )’ + !" ‘ ( , ) − ( , )’ = с( , ) + к( , ). Нетрудно убедиться, что с( , ) и к( , ) являются симметричной и кососимметричной формой

соответственно. Остается доказать их единственность.

Предположим, что еще одно представление: ( , ) = 3с( , ) + 3к( , ). Вычитая одно из другого, получим: с( , ) − 3с( , ) = к( , ) − 3к( , ). Слева стоит симметрическая форма, а справа – кососимметрическая. Тогда единственность представления следует из того, что билинейная форма являющаяся одновременно симметрической и кососимметрической – нулевая билинейная форма.