ЛА Билеты расписанные

Теорема

Пусть

%( , )

и

'

( , )

- эрмитовые квадратичные формы, заданные в унитарном пространстве

"

, причём

'( , ) > 0

для "

≠

.

[ ]

= [ ,

, … ,

]

Тогда в

существует базис

, в котором квадратичные формы

( , )

и

( , )

"

%

',

"

%

'

имеют

"

"

канонический вид:

l

( %, ', … , ")

%( , ) = ,

*| *|'

, '( , ) = ,| *|' ( )

-

в базисе

[ ]

%,

', … , "

- вещественные числа.

Где

координаты вектора

*+%

'( , )

*+%

Доказательство

Рассмотрим эрмитову полуторалинейную форму

, полярную к положительно определённой

эрмитовой квадратичной форме

.

'( , )

В пространстве " можно ввести

скалярное произведение с помощью эрмитовой формы

'( , )

Пространство

с так введённым

скалярным произведением будет унитарным.

( , )'

= '( , )

( )

Тогда

согласно теореме о приведении квадратичной формы к каноническому виду унитарным

"

[ ] = [

,

, … ,

]

(ортогональным) преобразованием существует базис

, ортонормированный в

числа l

l

смысле скалярного произведения (**), и вещественные

%

',

l

"

квадратичная форма

%( , )

имеет вид:

l

'

l

'

'

%| %| +

'| '|

%, ', … , "

Кроме того, так как базис

[ ] = [

( , ) =

+ +

"| "|

,

, … ,

]

ортонормированный в смысле скалярного произведения

(**), то значение квадратичной

формы

на любом векторе

.

%

',

"

= % % + ' ' + + " "

Согласно (**) равно

'( , ) =

'( , )

| %|' + | '|' + + | "|' #

Уравнение

det( % −

l

(где

%

и

'

- матрицы квадратичных форм) называется характеристическим

') = 0

det( % −

уравнением пучка.

Пусть l - какой-нибудь корень характеристического уравнения. Так как

l

, то существует

ненулевой$

вектор-столбец

такой, что

=

l

( )

$ ') = 0

Определение

↓

%↓

$

'↓

0,

Число l , удовлетворяющее условию (**) называется собственным значением пучка (*), а вектор

удовлетворяющий$

этому условию называется главным вектором пучка.

↓

≠ ↓

Теорема

( , )

( , )

( , )

Пусть

%

и

'

-

две квадратичные формы, причём

'

положительно определена. Тогда

существует линейное невырожденное преобразование переменных

с матрицей

%

'

"

столбцы пучка, ортонормированных в смысле

↓ ↓

↓

, столбцами которой являются главные вектор-

)-

0↓1 = 0↓1

=

'

'

, то есть

'

) -

1, =

, приводящее квадратичные

скалярного0 …произведения1

( , ) = ( , )

* ↓ , ↓ + =

d

= m0,

≠

формы

%( , )

и

'( , )

к каноническому виду.

%( , ) = l%| %|' + l'| '|' + + l"| "|'

( , )

= | |

'

+ | |

'

+ + |

'

%

'

"

, где

l

l

l -

собственные

|

матрицы

.

значения' пучка

%

l

, 'отвечающие"столбцам

↓

,

↓ , , … ,

↓

%,

', … ,

"

% −

'