- •События. Действия над событиями.
- •Классическая вероятность. Свойства вероятностей.
- •Основные правила комбинаторики. Сочетания, размещения, выбор без возвращения и с возвращением
- •Дискретная вероятность и ее свойства.
- •Общее определение вероятности (аксиоматика Колмогорова). Свойства вероятностей.
- •Условная вероятность и ее свойства.
- •Независимость событий. Свойства независимых событий.
- •Пример Бернштейна. Независимость n событий.
- •Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра - Лапласа.
- •Теорема Пуассона.
- •Случайные величины. Функции распределения случайных величин. Характеризационные свойства функций распределения.
- •Функции распределения дискретного типа. Примеры.
- •Функции распределения абсолютно непрерывного типа. Плотность распределения. Примеры.
- •Математическое ожидание. Примеры вычисления математического ожидания.
- •Теорема Бернулли.
- •Свойства математического ожидания.
- •Квантили. Вариационный ряд.
- •Метод моментов. Выборочный метод.
- •Метод максимального правдоподобия
- •Оценки параметров линейной регрессии
- •Проверка статистических гипотез. Общие положения. Ошибки первого и второго рода
- •Критерий Неймана–Пирсона. Критерий проверки гипотезы о среднем значении нор- мальной генеральной совокупности с известной дисперсией.
- •Критерий Пирсона
- •Критерий Колмогорова
Свойства математического ожидания.
Свойство 1: Если ξ 0 с вероятностью 1 и математическое ожидание существует, то Еξ 0
Это свойство непосредственно следует из определения математического ожидания.
Свойство 2: Если P{ξ = a} = 1, то Еξ =a
т.е. если случайная величина равна константе с вероятностью равной 1, то её математическое ожидание равно этой же константе.
Свойство 3: Линейность. Е(αξ + βη) = αЕξ + βЕη
Свойство 4: Монотонность.
Дисперсия. Примеры вычисления.
Дисперсией случайной величины ξ называется величина
Свойства:
Дисперсия неотрицательна
Дисперсия не меняется при сдвиге
Дисперсия является однородной функцией второго порядка
Дисперсия суммы равна сумме дисперсия плюс удвоенная ковариация
Пример:
Найти дисперсию числа очков при одном подбрасывании кубика.
ξ: 1|2|3|4|5|6
p: | | | | | |
M(ξ)=3,5
Ковариация. Коэффициент корреляции и его свойства.
Ковариацией случайных величин ξ, η называется следующая величина
Свойства:
Если ξ, η – независимые случайные величины, то
Ковариация случайной величины с собой равна дисперсии
Ковариация симметрична:
В силу линейности математического ожидания ковариация может быть записана как
Если α и β – числа, то
Случайные векторы. Функция совместного распределения. Дискретный тип. Абсолютно непрерывный тип.
Независимость случайных величин. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин
Случайные величины с функциями распределения называются независимыми в совокупности, если функция их совместного распределения удовлетворяет равенству F(x1,…,xn) = F1(x1)*…* Fn(xn) для всех значений x1,…,x
Если случайные величины X и Y независимы, то E(XY) = E(X)E(Y) и, более-того, для широкого класса функций g(x) и h(y)
E(g(X) h(Y)) = E(g (X))E(g (Y))
Моменты старших порядков. Неравенство Йенсена, неравенство Ляпунова.
Моменты старших порядков:
k-ый момент (или момент порядка k) -
абсолютный k-ый момент X -
центральный k-ый момент X -
абсолютный центральный k-ый момент X -
Виды сходимости случайных величин.
Закон больших чисел. Неравенство Маркова. Теорема Чебышева.
Теорема Хинчина. Теорема Колмогорова.
Теорема Хинчина.
Пусть ξ1, ξ2, …, ξn – независимые, однако распределённые случайные величины с конечным математическим ожиданием, т.е. E| ξi | < ∞, E ξi = a. Тогда k последовательности применим закон больших чисел, т.е. по вероятности.
Центральная предельная теорема. Теорема Леви. Теорема Ляпунова.
Цепи Маркова. Конечномерные распределения. Уравнение Чепмена Колмогорова
Классификация состояний цепи.
Стационарное распределение. Теорема Маркова.
Теорема Маркова.
Если множество состояний цепи образует один класс существенных непериодических состояний, то для всех i.j = 1,…,N существует предел
Более того, для всех j = 1,…,N выполнены соотношения ,
Понятие выборки и генеральной совокупности.
Случайной выборкой объёма n, отвечающей случайной величине X с функцией распределения F(x), называется набор n независимых случайных величин X1, X2,…, Xn каждая из которых имеет распределение F(x)
Генеральная совокупность — это множество всех возможных элементов однородной совокупности. Из этого определения следует, что каждый элемент генеральной совокупности обладает характеристиками генеральной совокупности, но в силу воздействия на него множества случайных факторов эти характеристики в каждом элементе наблюдаются с некоторым отклонением.
Выборочная функция распределения. Теорема Гливенко. Теорема Колмогорова.
Выборочное среднее.
В качестве оценки для математического ожидания m = E(X) используется оценка , которая называется выборочным средним
Выборочное среднее является средним значением для эмпирической функции распределения.
Выборочная дисперсия.
Выборочная дисперсия – это оценка теоретической дисперсии распределения, рассчитанная на основе данных выборки.
Она характеризует среднеквадратичное отклонение выборочных величин от выборочного среднего
Выборочные дисперсии бывают: смещёнными и несмещёнными.
Формула выборочной дисперсии:
Точечное оценивание. Несмещенность, состоятельность, эффективность.
Точечная оценка параметра a определяется ее оценкой , и ее точность характеризуется дисперсией оценки.
Несмещенной называется оценка = такая, что .
Состоятельной называется оценка параметра a такая, что .
Эффективной называется оценка такая, что , где — любая другая оценка параметра a.
Неравенство Рао-Крамера. Количество информации по Фишеру. Эффективные оценки.
, где — оценка параметра , а – информационное количество Фишера (количество информации о , содержащееся в случайной величине X, равное .
Согласно неравенство Р.-К. среднеквадр. откл. оценки от оцениваемого параметра не м.б. меньше величины, обратной к инф. количеству Фишера.
Несмещен. Оценка , для которой неравенство Р.-К. обращается в равенство, будет эффективной, т.е. такая оценка имеет мин. дисперсию.