41. Критерий Неймана–Пирсона. Критерий проверки гипотезы о среднем значении нор- мальной генеральной совокупности с известной дисперсией.

Лемма Неймана-Пирсона– утверждение о том, что в задаче проверки простой статистической гипотезы против простой альтернативы критерий, основанный на отношении правдоподобия, является наиболее мощный.

Критерий Неймана-Пирсона. Согласно этому критерию, выбирается такое правило, которое обеспечивает минимально возможную величину вероятности ошибок второго рода при условии, что вероятность ошибки первого рода не больше заданной величины .

Проверка гипотезы о генеральном среднем с известной дисперсией. В качестве 0-ой гипотезы возьмем , в качестве альтернативной гипотезы – одну из трех: , или .

В качестве статистики критерия можно взять функцию (1), где – выборочное среднее, найденное по выборке .

Алгоритм:

1. Выдвигаем нулевую гипотезу и одну из альтернативных;

2. Задаем уровень значимости критерия ;

3. Вычисляем значение статистики по формуле (1);

4. Находим критическую область, соответствующую каждой из альтернатив. В случае, когда , рассматривается правосторонняя критическая область – ( ), где – квантиль уровня стандартного нормального распределения. В случае же, когда , рассматривается левосторонняя критическая область – интервал ( ), где – квантиль уровня α стандартного нормального распределения.

42. Критерий Пирсона

43. Критерий Колмогорова

Рассматривается гипотеза о том, что функция распределения совпадает с непрерывной функцией распределения . Обозначим эту гипотезу символом . Символом обозначим противоположную гипотезу о том, что хотя бы при одном значении . Проверка гипотезы о распределении состоит в том, чтобы по наблюдениям выборки сделать вывод, что функция распределения совпадает с , т.е. справедлива гипотеза , или заключить, что не совпадает с , т.е. справедлива гипотеза . Поскольку наблюдения случайны, то абсолютно достоверно такие утверждения сделать нельзя. Пусть – некоторое наперед заданное малое положительное число. Мы хотим указать такое правило (критерий), которое бы по наблюдениям выборки отвергало гипотезу при условии, что она на самом деле верна, с вероятностью или близкой к для больших . При этом правило следует выбирать таким, чтобы вероятность ошибки второго рода была бы как можно меньшей.

Все статистические критерии устроены так, что при уменьшении повышаются шансы на принятие гипотезы , а при гипотеза обязательно принимается.

Пусть – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке , т.е.

Положим

Поскольку при больших n является хорошей оценкой – истинной функции распределения случайной величины , то функция является мерой различия между истинной функцией распределения и предполагаемой . Функция называется статистикой Колмогорова.

Критерий согласия Колмогорова:

Недостающие вопросы:

20. Случайные векторы. Функция совместного распределения. Дискретный тип. Абсолютно непрерывный тип.

22. Характеристические функции. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: если случайные величины и независимы, то, по свойству математических ожиданий

Виды сходимости случайных величин	Закон больших чисел. Неравенство Маркова. Теорема Чебышева.
Центральная предельная теорема. Теорема Леви. Теорема Ляпунова.	27. Теорема Линдеберга-Феллера
28. Цепи Маркова. Конечномерные распределения. Уравнение Чепмена-Колмогорова.	29. Классификация состояний цепи. Теорема солидарности.
32. Выборочная функция распределения. Теорема Гливенко.