36. Квантили. Вариационный ряд.

Квантиль– значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.

Вариационный ряд– набор упорядоченных случайных величин.

Дискретным вариационным рядом называют упорядоченную совокупность значений случайной величины с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Интервальным вариационным рядом называют упорядоченную совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений величины.

37. Метод моментов. Выборочный метод.

Метод моментов заключается в том, что любой момент случ. величины зависит от параметра . Но тогда и параметр может оказаться функцией от теоретического -го момента. Подставив в эту функцию вместо неизвестного теоретического -го момента его выборочный аналог, получим вместо параметра 𝜃 оценку .

Пусть – выборка объема из параметрического семейства распределений . Выберем некоторую функцию так, чтобы существовал момент . Тогда в качестве оценки для возьмем решение уравнения .

Суть выборочного метода заключается в том, что для оценки всей совокупности необходимые сведения собираются из определенного числа наблюдений из этой совокупности.

38. Метод максимального правдоподобия

Функцией правдоподобия для случайных наблюдений с плотностью распределения называется функция

.

Оценкой параметра θ, построенной методом максимального правдоподобия по наблюдениям , называется оценка , определяемая равенством

.

39. Оценки параметров линейной регрессии

Имеется зависимость

Предполагается, что являются одинаково распределенными независ. случ. величинами (iid), независящими от величин , которые интерпретируются как ошибки измерения. В свою очередь величины тоже являются независимыми со средним ноль ( ) и конечной дисперсией ( ). По наблюдениям значений пар случайных величин нужно определить параметры . Такая модель называется простой линейной регрессией.

Оценки параметров: ,

40. Проверка статистических гипотез. Общие положения. Ошибки первого и второго рода

Предположим, что функция распределения случайной величины нам незивестна, но мы располагаем случайной выборкой. По наблюдениям выборки мы хотим дать ответ на вопрос: совпадает функция распределения с некоторой наперед заданной функцией распределения или нет. При такой постановке задачи говорят, что речь идет о проверке статистической гипотезы согласия. Используя наблюдения выборки , нужно либо принять гипотезу о том, что функция распределения совпадает с заданной функцией распределения , либо ее отвергнуть. Правило принятия одного из этих двух решений называется статистическим критерием или просто критерием.

В качестве функции обычно выбирается одно из известных распределений, например: нормальное, равномерное или показательное распределение.

Вероятность a отвергнуть гипотезу при условии, что она верна, называется вероятностью ошибки первого рода. Её также называют уровнем значимости критерия

Вероятность принять гипотезу при условии, что верна гипотеза , называется вероятностью ошибки второго рода (далее – )

Обычно за принимается такая гипотеза, отвержение которой, когда она на самом деле верна, будет иметь наихудшие последствия по сравнению с теми, когда за выбирается другая гипотеза.

Поскольку при фиксированном объеме выборки вероятности ошибок первого и второго рода одновременно сделать достаточно малыми нельзя, то задают заранее, а при уже выбранном стараются сделать как можно меньше.