ovta-posibnyk

Рівняння векторних ліній (див. (6.1)) для цього випадку мають

виключеним початком координат. Перетин їх дає систему променів, що виходять із початку координат. Вони і визначають сім'ю векторних ліній заданого поля.

2.2. Похідна від векторної функції за напрямком

Як і у випадку скалярного поля, уведемо поняття похідної за

кість зміни поля з часом у заданій точці середовища

dA A A x A y A z A (v ) A . dt t x t y t z t t

Доданок At виражає швидкість зміни величини A із часом у

заданій точці простору і називається локальною похідною. Локальна похідна характеризує нестаціонарність поля. Доданок

(v ) A утворюється за рахунок зміни координат точки внаслі-

док її руху (конвекції), тому його називають конвективною похідною. Конвективна похідна характеризує просторову не-

видно, повне прискорення складається із двох доданків: локального прискорення v та переносного (конвективного)

прискорення (v )v . t

102

2.3. Інваріантні характеристики векторних полів

тобто в результаті згортки деякого геометричного об'єкта, який

ти якого дорівнюють {dxi} , утворився вектор із координатами {dAi}. Із наслідку з оберненої тензорної ознаки випливає, що

результаті згортки тензора другого рангу за парою індексів утворюється скалярна величина

Ai ( A) div A ,

xi

яка є дивергенцією векторного поля (інваріантне означення див. п. 2.6), що змінюється від точки до точки, але в даній точці є інваріантною характеристикою, що не залежить від вибору системи координат, у якій вона обчислюється.

Оскільки довільний тензор можна представити у вигляді суми симетричного sij та антисиметричного aij відносно переста-

новки індексів тензорів, то справедливе таке розкладання:

інваріант (сума головних мінорів відповідної матриці) антисиметричного тензора другого рангу aij , компоненти якого можна

представити у вигляді (див. (5.6)) aij eijk k , дорівнює 2 . У

личини, яку називають ротором (вихором) векторного поля (інваріантне означення див. п. 2.6) і яка змінюється від точки до точ-

ки. Можемо говорити, що rot A є вектором, який характеризує відхилення заданого векторного поля від потенціального (для

потенціального поля rot A 0 ).

Отже, div A та rot A є інваріантними диференціальними характеристиками векторних полів у кожній точці простору.

104

2.4.Потенціальне векторне поле. Лінійний інтеграл від вектора

Означення. Векторне поле A(r ) 3 Ai ( x, y, z)ei , задане у про-

i 1

сторовій області G , називається потенціальним, якщо існує така скалярна функція ( x, y, z) , що для всіх точок області G вико-

нується рівність:

A( x, y, z) grad ( x, y, z) .

Зауваження. Для силових полів зазвичай

A(x, y, z) grad ( x, y, z) .

Тому далі враховуватимемо знак мінус перед градієнтом.

Функція ( x, y, z) називається скалярним потенціалом вектор-

Щоб з'ясувати, чи є поле A потенціальним, необхідно перевірити виконання таких умов потенціальності векторного поля:

105

Векторними лініями потенціального векторного поля є лінії поля градієнта відповідного скалярного потенціалу (r ) , тобто лінії най-

швидшої зміни скалярної функції (r ) , що перпендикулярні до поверхоньрівняскалярногопотенціалу (r ) const (див. § 1).

Важливу характеристику векторного поля дає лінійний інтеграл від вектора – звичайний криволінійний інтеграл другого роду – інтеграл уздовж напрямленого контуру від скалярного

добутку вектора A(r ) на векторний елемент довжини:

A dr A1dx A2dy A3dz ,

незалежні, а є приростами відповідних координат уздовж контуру. Такими інтегралами виражається, наприклад, робота сили A(r ) над матеріальною точкою, яка рухається за заданою траєкторією від точки M0 доточки M1 . Якщовектор A(r ) – потенціальний, то

A1dx A2dy A3dz x dx x dy x dz d

є повним диференціалом скалярної функції. Обчислюючи інтеграл, отримаємо

У цьому випадку контурний інтеграл визначається положенням початкової та кінцевої точок інтегрування (рис. 6.1) і не залежить

C . Умова E dr 0 означає те, що робота з переміщення заряду

C

вздовж замкненоїкривої C дорівнює нулю.

Загальних правил обчислення криволінійних інтегралів немає. Їх намагаються звести до обчислення визначених інтегралів, належним чином параметризувавши контур (приклади див. у розд. 8). Якщо контур інтегрування замкнений, можна скористатися формулою Стокса (див. п. 2.6) і звести обчислення до знаходження поверхневого інтегралаі подвійного інтеграла Рімана.

2.5. Потік векторного поля через поверхню

Однією із важливих характеристик векторного поля є потік векторного поля через поверхню. Потоком векторного поля

A(r ) через гладку або кусково-гладку орієнтовану поверхню S називається поверхневий інтеграл другого роду по поверхні S A(r ) на нормаль n( x, y, z) до обраної сто-

Інтерпретацію потоку вектора легко дати у випадку, коли вектором A(r ) є вектор швидкості рухомої рідини. Тоді потік век-

тора A(r ) – це кількість (об'єм) рідини, що проходить за одини-

цю часу через орієнтовану поверхню S .

Існує декілька способів обчислення потоку вектора, використовуючи, зокрема:

1)проектування на одну із координатних площин;

2)проектування на всі три координатні площини;

3)перехід до криволінійних координат на поверхні.

Якщо поверхня, по якій ведеться інтегрування, є замкненою, то обчислення поверхневого інтеграла можна звести до обчислення об'ємного інтеграла, використовуючи теорему Остроград- ського–Гаусса, про яку йтиметься пізніше (див. п. 2.6).

108

2.6. Дивергенція та ротор. Інтегральні теореми

Щоб з'ясувати математичний і фізичний зміст ротора (вихору) та дивергенції векторного поля, розглянемо їх інваріантні

але більш наочні. Вони, можливо, є складнішими, але не залежать від вибору системи координат. Почнемо з ротора.

Виберемо точку M , у якій ми хочемо визначити ротор векторного поля. Задамо деякий напрямок одиничним вектором n .

має здійснюватися у напрямку проти годинникової стрілки (при цьому область, що обходиться, залишається ліворуч).

няється від потенціального.

Можна переконатися у тому, що це визначення збігається з

означенням rot A A у декартових координатах. Для цього обчислимопроекціїротора, користуючисьінваріантнимозначенням і вибравши площадку у вигляді прямокутника зі сторонами, паралельними координатним осям. Наприклад, виберемо прямоку-

109

Ax (x, y y, z) x Ay (x, y, z) y

Ay ( x x, y, z) Ay (x, y, z) y

де x, y – значення координат у деяких точках відповідних відрі-

зків контуру. Враховано також, що обхід протилежних сторін здійснюється у протилежному напрямку, а при стягуванні площадки S у точку M усі координати набувають значень, що відповідають цій точці. Підставивши останній результат в означення і здійснивши граничний перехід, отримаємо вираз для

знаходять інші проекції вихору.

Таким чином, вихор вектора в заданому напрямку не залежить від вибору системи координат і дорівнює поверхневій густині циркуляції цього вектора по контуру площадки, що перпендикулярна до цього напрямку. Вихор вектора відрізнятиметься

від нуля, якщо векторні лінії поля A закручуються, – мають замкнену або спіралеподібну форму.

Розглянемо тверде тіло, яке обертається навколо осі Oz із сталою кутовою швидкістю. Векторне поле швидкостей точок цього тіла подамо у вигляді

110