Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1330 вузов, 5516 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный университет им. Т. Шевченко
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

ovta-posibnyk

.pdf
Скачиваний:
61
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
2 Мб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

 

(a,b,c )

1

 

a1

 

a2

 

a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

 

 

b2

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

c

 

 

c

 

 

 

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

(a,b,c )

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eijk a b

j

c

k

ijk a b c

,

(7.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де величину

 

g визначено формулою (7.7) і введено позначення

e

ijk

g

ijk

. Оскільки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

c , маємо

 

 

 

(a,b,c) [a b]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

1

 

 

 

ijk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[a

b

]

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

a b

j

,

 

 

 

(7.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

eijk a b e

 

.

 

 

 

(7.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

i j k

 

 

 

 

 

 

Якщо e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, e

, e – вектори основного базису,

то виходячи зі

 

 

 

1

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

співвідношення

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

e

e j

j ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

} , у розкладі за яким до-

можна означити інший базис {e

,e

 

,e

вільний вектор задається своїми коваріантними координатами.

Із тотожності

 

(1.20)

та співвідношення

(7.12),

знаходимо

(e1,e 2 ,e3 ) e

,e

,e

 

1 , тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

(e

,e

,e

)

 

 

 

 

 

 

.

(7.13)

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

e ,e

,e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

Співвідношення (7.12) містить 9 рівнянь для знаходження координат трьох векторів {e1,e 2 ,e3} , зокрема, для знаходження

e1

є три рівняння:

e1 e

1,

e1 e

 

0 , e1 e

0 . Причому із

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

3

 

 

 

двох

останніх

випливає,

 

що

e1

 

треба шукати у вигляді:

e1

 

 

e

e ,

де

 

–

константа,

яку знаходимо з першого

 

1

2

3

 

1

e

e

 

Отже, (e

,e

,e ) 1 . Усі

рівняння:

e1 e

 

e

1 .

 

 

 

 

1

1

2

 

3

1

 

 

1

1

2

3

вектори взаємного базису виражають подібним чином через відповідні векторні та мішані добутки векторів основного базису:

141

 

1

e

e

 

 

 

 

2

 

e

e

 

 

3

 

e

e

 

 

e

2

 

3

 

,

e

 

3

1

 

, e

 

1

 

2

.

(7.14)

 

 

 

 

e ,e ,e

 

 

 

 

 

e ,e ,e

 

 

 

e ,e ,e

 

 

 

 

1

2

3

2

3

 

 

1

2

3

 

 

 

 

1

2

3

 

 

Вектори

 

1

 

 

утворюють

так

 

званий

взаємний

(або

 

e

,e

 

,e

 

 

спряжений, або дуальний) базис. Аналогічно вектори основного

базису виражають через добутки векторів взаємного базису:

 

e

2 e3

 

 

 

e3 e1

 

 

 

e1 e 2

 

 

 

e1

1

2

3

)

,

e2

1

2

3

)

,

e3

1

2

3

)

.

(7.15)

 

(e

,e

,e

 

 

(e

,e

,e

 

 

(e

,e

,e

 

 

Отже, взаємним відносно взаємного базису є основний базис. Із співвідношення ei e j i j видно, що кожен вектор одного базису є перпендикулярним до двох векторів іншого базису, а із

третім, індекс якого має те саме числове значення, утворює гос-

трий кут. Наприклад, вектор e1

–

ортогональний до e

та e , а

 

e1 e | e1 | | e

2

3

скалярний добуток

| cos(e1,e ) 1, звідки випли-

ває, що кут між e1

1

1

1

 

та e – гострий.

 

 

1

 

 

 

Аналогічно знаходять вирази для мішаного та векторного до-

бутків через контраваріантні координати векторів:

 

(a,b

,c ) g

a1

a2

a3

 

geijk aib jck ijk aib jck ,

 

b1

b2

b3

 

(7.16)

 

 

c1

c2

c3

 

 

 

a b ge

 

aib je k .

(7.17)

 

 

ijk

 

 

 

Величини

1

 

 

 

 

 

ijk

eijk ,

ijk

ge

 

 

g

 

ijk

 

 

 

 

 

утворюють тензор, а точніше, псевдотензор третього рангу, який

називають тензором Леві-Чівіта.

Довільний вектор a можна представити у вигляді розкла-

дання двома способами

a aiei a j g jiei a j e j ,

тобто вектор можна розкласти як за векторами основного базисуe1, e2 , e3 – тоді координати розкладання є контраваріантними,

142

так і за векторами взаємного базису {e1,e 2 ,e3} – із коваріант-

ними координатами.

При цьому коваріантні та контраваріантні

координати вектора a визначаються як скалярні добутки векто-

ра a на базисні вектори e

та ei , відповідно,

 

 

 

i

e ,

ai a ei .

 

 

 

a a

 

 

 

i

i

 

Це виправдовує назву базису {e1,e 2 ,e3} як взаємного відно-

сно e

,e

,e .

 

 

 

1

2

3

 

 

 

Звичайно основний та взаємний базиси використовують паралельно. Прикладом використання апарату основного та взаємного базисів фактично є вектори основних трансляцій кристалічної ґратки (основний базис) та вектори оберненої ґратки (взаємний базис) у теорії твердого тіла. Радіус-вектор r зручно роз-

кладати за векторами трансляцій, а хвильові вектори k – за векторами оберненої ґратки, тоді їх скалярний добуток має простий

вигляд: k r ki xi . Взаємний базис не збігається з основним не

тільки для косокутного базису, але й у випадках, коли ортогональні базисні вектори не є одиничними.

§ 3. Тензори у косокутній системі координат

Як і вектори, тензори у косокутній системі координат можна задавати або коваріантними, або контраваріантними компонентами за кожним із індексів. Відповідно одержуємо різні типи

компонент для одного тензора, наприклад, tij ,tij ,ti j ,ti j . Про су-

купності компонент тензора із певним набором верхніх та нижніх індексів говорять, що вони утворюють тензор певної будови.

Так компоненти tij утворюють двічі коваріантний тензор, tij –

двічі контраваріантний тензор, ti j – один раз коваріантний і один раз контраваріантний тензор.

Розглянемо лінійний оператор tˆ і відповідний тензор y tˆ x .

143

Перейдемо у цьому співвідношенні до координат. Кожен із

векторів можна задати двома наборами координат:

 

j

x

j

;

x

x je

e j

y y ei

yie .

 

 

i

 

i

 

Тензор другого рангу має два індекси, кожен із яких може бути нижнім або верхнім. Відповідно у косокутній системі координат отримуємо чотири набори координат тензора і чотири

варіанти відповідних співвідношень:

tˆ t ei e j ,

 

t e

tˆ e

 

,

 

y t x j

,

 

 

 

 

ij

i

j

 

 

i

 

ij

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

 

 

 

 

 

t

 

j

 

ˆ j

,

y t

 

 

j

x

 

,

ˆ

t

 

j i

 

 

 

,

i

e t e

 

 

 

 

j

t

 

e

 

e

j

 

i

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

t

i

i ˆ

 

,

y

i

t

i

 

 

x

 

j

,

ˆ

t

i

 

j

,

 

j

e t e

j

 

 

 

 

j

 

 

t

e

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j i

 

 

 

 

t

ij

i ˆ j

,

y

i

t

ij

 

x

 

 

,

ˆ

t

ij

 

 

 

 

.

 

e t e

 

 

 

 

 

 

j

t

e

e

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

Індекси можна опускати і піднімати за допомогою фундаментальної матриці та оберненої до неї, наприклад, tik tij g jk .

Закон перетворення компонент тензора. Спочатку знайдемо

закон перетворення векторів взаємного базису. Скористаємося

законом перетворення контраваріантних координат (7.5) довіль-

ного вектора a та виразами для координат через відповідні ска-

k

 

k

a

i

 

 

i

:

 

 

 

 

лярні добутки a

a e ,

 

a

e

 

 

 

 

 

 

k

 

k

 

 

i

 

k

 

i

 

k

.

 

a

a

e

 

a

i

a

e

i

Оскільки вектор a

довільний, звідси випливає рівність

 

 

 

 

 

 

i

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

e

 

.

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

i

 

 

 

 

 

Тепер, знаючи закони перетворення базисних векторів

 

 

 

l

 

 

 

 

j

n

n

j

,

(7.18)

 

 

ei i

el ,

 

e

 

e

 

можемо знайти і закон перетворення компонент тензора другого рангу. Наприклад, для один раз коваріантного та один раз конт-

раваріантного тензора

ti j ei tˆ e j ilel tˆ e n n j il n jel tˆ e n il n jtl n . (7.19)

За коваріантними індексами тензор перетворюється за допо-

могою матриці A

 

ik

 

, за контраваріантними –

A 1

 

ik

 

.

 

 

 

 

144

 

 

 

 

 

Формулу (7.19) та аналогічні їй вирази для тензорів будь-якого рангу в координатному підході вважають означенням тензора. Такі тензори називають афінними тензорами.

Можна довести, що компоненти фундаментальної матриці gij та оберненої до неї матриці gij утворюють тензори, а піднімання або опускання одного з індексів перетворює їх на оди-

ничний тензор:

gij g jk ik

ki .

Скориставшись

означенням

(7.6) та законом перетворення базисних векторів (7.1), маємо

 

 

l

k

l

k

 

 

l

 

k

glk

(7.20)

gij ei e j i el j

ek i

j

el ek i

j

– закон перетворення компонент двічі коваріантного тензора. Аналогічно для компонент оберненої матриці

g ij e i e j li k jglk отримуємо закон перетворення компонент

двічі контраваріантного тензора.

Дії над афінними тензорами аналогічні діям над тензорами, заданими в ортогональній системі координат. Природно, що лінійні операції можна здійснювати лише над тензорами однакової будови, згортати – за парою індексів, один із яких нижній, інший – верхній. Згортка за парою індексів, що складається із двох нижніх або із двох верхніх індексів, не є тензорною операцією, оскільки внаслідок такої дії утворюється новий геометричний об'єкт, який не є тензором.

Контрольні запитання

1.Якими координатами можна задавати вектор у косокутній системі координат?

2.Запишіть закон перетворення коваріантних та контраваріантних координат вектора.

3.Що таке фундаментальна матриця та обернена до неї?

4.Що визначає метричний тензор?

5.Як обчислюється векторний і мішаний добутки у косокутній системі координат?

6.У якому співвідношенні з основним базисом перебуває взаємний базис?

7.Якими наборами компонент можна задати тензор другого

рангу у косокутній системі координат?

145

Розділ 8 Криволінійні системи координат

§ 1. Елементи криволінійних систем координат

Використання замість декартових координат інших систем координат, природно зв'язаних із розглядуваною задачею, спрощує розв'язок багатьох фізичних задач. Наприклад, для задач із аксіальною симетрією зручно користуватися циліндричною системою координат, для задач із центральною симетрією – сферичною системою координат.

Система криволінійних координат ставить у відповідність

кожній точці простору r

упорядковану трійку дійсних чисел

q1, q2 , q3 . Криволінійні координати

q1, q2 , q3 точки зв'язані з її

декартовими координатами співвідношеннями:

 

x x(q1, q2 , q3 ) ,

y y(q1, q2 , q3) ,

z z(q1, q2 , q3) ,

(8.1)

або векторним співвідношенням

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

, q

3

) ,

(8.2)

 

r

r (q , q

 

 

де функції (8.1) усюди однозначні та неперервно диференційов-

ні, причому якобіан переходу I

(x, y, z)

 

0 , тобто існують

1

, q

2

, q

3

)

 

(q

 

 

 

і обернені формули qi qi x, y, z . Іншими словами, між декартовими координатами x, y, z і криволінійними координатами q1, q2 , q3 існує взаємно однозначна відповідність.

Візьмемо довільну точку M (q10 , q02 , q03 ) на рис. 8.1, зафіксуємо q2 , q3 і змінюватимемо q1 . Тоді радіус-вектор r r (q1, q02 , q03) опише координатну лінію q1 або q1 -координатну лінію. Аналогічно отримуємо q2 - і q3 -координатні лінії, і таким чином через

146

кожну точку можна провести три різні координатні лінії. Різні q1 -координатні лінії (тобто такі, що відповідають різним значен-

ням q1 ) між собою не перетинаються. Аналогічне твердження має місце для q2 -, q3 -координатних ліній.

Якщо надамо приріст радіус-вектору r r (q1, q2 , q3) уздовж

q1 -координатної лінії q1 , то величина

r1 lim r1q q1 0 q

є вектором, дотичним до q1 -координатної лінії.

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

e2

 

q2 -координатна лінія

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

e1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q1 -координатна лінія

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r (q10 ,q02 ,q03 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8.1 до визначення координатних ліній

 

Таким чином, у кожній точці простору можна побудувати

трійку

векторів

 

r

ei .

Оскільки вони некомпланарні,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

,

 

,

I

0 , то їх можна прийняти за вектори базису.

1

 

2

3

 

q

 

q

 

q

 

 

 

 

 

 

Цей базис змінюватиметься від точки до точки, тому його називають локальним. Тобто одержуємо поле базисів або поле реперів (французькою мовою repère значить мітка, зарубка, орієнтир). Нумерація координат звичайно вибирається так, щоб ба-

зисні вектори e1,e2 ,e3 утворювали праву трійку векторів. Таким чином, у кожній точці простору, що задається радіус-

вектором r r (q1, q2 , q3 ) , існує пов'язаний із криволінійною

147

системою координат базис, який називають основним локаль-

ним базисом, вектори якого

 

 

 

r

 

 

ei

 

(i 1,2,3)

(8.3)

qi

є дотичними до qi -координатних ліній, що проходять через точку r r (q1, q2 , q3 ) . Напрямок вектора основного локального базису

відповідає напрямку зростання відповідної координати. Підкреслимо, що криволінійна система координат локально подібна до

косокутної системи. У загальному випадку базисні вектори ei розташовані один відносно іншого під довільними кутами і їх довжини можуть відрізнятися від одиниці. Тому gij , gij , ei визна-

чаються так само, як у косокутній системі координат, але тепер це

– функції координат.

Візьмемодовільну точку M (q10 , q02 , q03 ) нарис. 8.2. Зафіксуємо q3 ізмінюватимемо q1 , q2 . Тодірадіус-вектор r r (q1, q2 , q03 ) опише

координатну поверхню. Тобто умова qi const визначає qi -коор- динатну поверхню. Координатні поверхні, що відповідають різним значенням однієї і тієї самої координати qi , не перетинаються. Дві

координатні поверхні, що відповідають різним координатам qi , q j , перетинаються по координатній лінії, яка відповідає третій коорди-

наті qk . Тобто, розв'язавши систему

двох

рівнянь qi const ,

q j const , знайдеморівняннядля qk -координатноїлінії.

У розд. 1 векторну функцію точки

 

розкладено за бази-

A(r )

сом декартової системи координат. Модуль і напрямок кожного вектора такого базису були однаковими у кожній точці просто-

ру. Якщо векторна функція a(r ) описується у криволінійних координатах q1, q2 , q3 , то зручніше використовувати основний локальний базис {ei} (8.3) або взаємний базис {ei}. Вектори ei

визначаються так само, як у косокутній системі координат, на-

приклад, e1

e2

e3

 

 

1

e

e

, але тепер вони є вектор-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

2

3

 

 

e ,e

,e

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

148

 

ними функціями координат ei (q1, q2 , q3 ) і напрямлені перпендикулярно до відповідних координатних поверхонь qi const .

z

q2 -координатна лінія

M

q3 -координатна поверхня

 

r (q10 ,q02 ,q03 )

q1 -координатна лінія

у

х

Рис. 8.2. Сітка координатних ліній на q3 -координатній поверхні

Довільну векторну функцію a(r ) можна однозначно представити через вектори основного локального базису контраварі-

антними координатами {ai}:

a ai ri aiei ,

q

або коваріантними координатами {a j} : a j a ri a e j ,

q

через вектори взаємного базису: a a je j .

Як і в косокутній системі координат, зв'язок між коваріантними та контраваріантними координатами у розглядуваній точці

здійснюється за допомогою метричного тензора a j a e j ai (ei e j ) ai gij ,

але величини gij ei e j

є функціями точки, тобто залежать від q1, q2 , q3 , і задають поле

метричного тензора. Метричний тензор визначає відстань між нескінченно близькими точками r та r dr :

149

 

 

 

 

 

 

 

ds2 dr 2 (e

e

)dqi dq j

g

ij

(q1, q2

, q3 )dqidq j .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначник метричного тензора

g det

 

gij

 

 

 

 

виражається через

 

 

 

якобіан переходу

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, y, z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

, q

3

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(q , q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g det

 

 

 

g

ij

 

det

 

 

 

e

e

 

 

 

 

e

,e

,e

2

I 2

0 .

g I .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Елементи довжини дуги, площі та об'єму у криволінійній си-

стемі

координат.

При обчисленні

 

криволінійних

інтегралів:

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A dl , де C – ділянка координатної лінії; б) поверхневих –

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

де

S –

область

на

 

 

 

координатній

поверхні;

A ndS ,

 

 

 

 

 

S

в) об'ємних – fdV , де V – об'єм, обмежений координатною

V

поверхнею, зручно користуватися відповідною криволінійною системою координат (рис. 8.3).

(q1,q2 dq2,q3 dq3)

(q1,q2,q3 dq3) (q1 dq1,q2 dq2,q3 dq3)

e3

(q1 dq1,q2,q3 dq3)

 

(q1,q2 dq2,q3)

e2

 

 

(q1 dq1,q2 dq2,q3)

 

e1

(q1,q2,q3 )

(q1 dq1,q2,q3)

Рис. 8.3. Елементи довжин дуг координатних ліній, площ поверхонь та об'єму в системі криволінійних координат

Векторний елемент довжини дуги координатної лінії q1 ви-

значається формулою

dl1 dl 1 dr q2 ,q3 const e1dq1 (dl )1 .

150

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности