ovta-posibnyk

Їх назва пов'язана із тим, що координатні поверхні u const , v const є параболоїдами обертання. У цьому можна переконатися, якщо піднести до квадрата вирази u z r та v z r . У результаті отримаємо рівності

із площиною xOz і обмежена віссю Oz. Через кожну точку із координатами u , v , проходять три координатні лінії: коло ( -

лінія, уздовж якої змінюється в межах від 0 до 2 , а u і v –

фіксовані) і дві півпараболи, утворені при перетині координатних поверхонь (півплощини і відповідного параболоїда).

Перехід до параболічної системи координат ( u , v , ) здійс-

частину параболоїда z = x2 + y2, обмежену площиною z = 2, у напрямку зовнішньої нормалі.

Розв'язання. Поверхня, через яку проходить потік, який треба знайти, є частиною координатної поверхні v const (або u const ) параболічної системи координат. Тому спробуємо саме таку систему використати. Оскільки на заданій частині

поверхні параболоїда z змінюється від 0 до 2, і z x2 y2 або z u2v2 , то ділянка поверхні, через яку проходить потік, який треба знайти, задається нерівністю 0 u2v2 2 . Якщо вибрати

координатну поверхню v 1 , то на заданій ділянці 0 u 2 , 0 2 , тобто в цих змінних область інтегрування буде

прямокутною. Маємо векторний елемент координатної повер-

хні v const :

§ 3. Вектори і тензори у криволінійній системі координат

Будемо говорити, що задано тензорне поле, якщо кожній точці простору ставиться у відповідність тензор t(r ) .

У криволінійній системі координат (q1, q2 , q3) послідовний спосіб роботи із тензорами передбачає використання компонент

163

тензорів не в декартовій системі координат, а в локальному базисі криволінійної системикоординат, якийсам є функцієюточки.

Нехай поряд із системою координат (q1, q2 , q3) існує штрихована криволінійна система координат (q 1, q 2 , q 3 ) . Криволінійні координати q 1, q 2 , q 3 точки зв'язані з її координатами q1, q2 , q3 співвідношеннями

де функції (8.20) усюди однозначні та неперервно диференційовні, причому якобіан переходу відмінний від нуля, тобто існують і обер-

нені формули qi qi (q 1, q 2 , q 3) . Іншими словами, міждвома кри-

волінійнимисистемамиіснуєвзаємнооднозначнавідповідність. Можна визначити вектори штрихованого локального базису

та знайти їх зв'язок із векторами нештрихованого локального

Коефіцієнти розкладання одного базису за іншим визначають матрицю переходу

Івектори штрихованого базису і елементи матриці переходу

єфункціями точки.

Із розкладання довільного вектора та тензора a(r ) ai (q1, q2 , q3 ) ei (q1, q2 , q3) ,

t(r ) tij (q1, q2 , q3 ) ei (q1, q2 , q3 ) e j (q1, q2 , q3 )

видно, що залежність від криволінійних координат q1, q2 , q3 міститься і в компонентах, і в базисних векторах.

Вправа. Довести, що криволінійні координати {qi} не утворюють вектор, а {dqi} – утворюють.

164

§ 4. Коваріантне диференціювання векторних та тензорних полів

Наша задача полягає у тому, щоб у результаті диференціювання заданих тензорних полів одержати нові тензорні поля, тобто розробити такий метод диференціювання тензора, який приводить до тензорів вищих рангів.

1. Скалярне поле (q1, q2 , q3) . Знайдемо закон перетворення частинних похідних цього скалярного поля при переході до інших (штрихованих) криволінійних координат q 1, q 2 , q 3 :

скориставшись (8.22). Тут і далі верхній індекс у знаменнику рівнозначний нижньому індексу в чисельнику. Отриманий закон перетворення говорить про те, що похідні від скалярного поля за

контраваріантними координатами , j j утворюють коварі-

q

антний вектор – градієнт скалярного поля , а диференціаль-

ний векторний оператор набла записують як ei qi .

2. Векторне поле a . Для нього можна використовувати два

еквівалентні представлення:

a(q1, q2 , q3) ai (q1, q2 , q3)ei (q1, q2 , q3)

a j (q1, q2 , q3)e j (q1, q2 , q3) .

утворюють тензор. Коваріантною (абсолютною) похідною кон-

траваріантного вектора називають сукупність 9 величин

165

Отримали закон перетворення тензора другого рангу.

Ці важливі коефіцієнти були введені в 1869 р. німецьким математиком Е. Крістόффелем (1829–1900) і називаються символами

Крістоффеля II роду або коефіцієнтами зв'язності, тому що за їх

допомогою зв'язуються однакові вектори в різних точках простору. Для символів Крістоффеля II роду ijk використовують

також позначення ikj або i j,k .

Розташування індексів у цих символах вибрано так, щоб застосовувати тензорне правило підсумовування, хоча символи Крістоффеля не є тензорами; у кожній точці простору вони залежать не тільки від базису в цій точці, але й від характеру змі-

166

ни базису при відході від неї. Тому при заміні системи координат символи ikj перетворюються не за тензорним, а за деяким більш складним законом, на якому ми не будемо спинятися. По-

Зазначимо, що між символами Крістоффеля існує зв'язок:

ikj g jl l,ik , j,ik g jl ikl .

Повернемося до диференціювання векторних полів. Ми одержалиформулудляковаріантноїпохідноїконтраваріантноговектора

Узявши інше інваріантне представлення вектора у вигляді a aiei через коваріантні координати, можна показати, що

Операція коваріантного диференціювання вводиться у криволінійних координатах як інваріантна диференціальна операція, у результаті якої із довільного тензора рангу n утворюється тензор рангу n+1.

Правила коваріантного диференціювання збігаються із правилами звичайного диференціювання. Наприклад,

a il bm ,k a il,k bm a il bm,k .

4. Теорема Річчі. Коваріантна похідна метричного тензора дорівнює нулю.

gij,k 0 , gij,k 0 .

Доведення. Теорему доведемо простим обчисленням, але спочатку покажемо, що символи Крістоффеля однозначно визнача-

Використовуючи симетрію відносно перестановки індексів у

Використовуючи означення коваріантної похідної від двічі коваріантного тензора та останню формулу для символів Крістоффеля, одержимо

Аналогічно можна показати, що gij,k 0 .

Рівність нулю коваріантної похідної від метричного тензора дозволяє оперувати із його компонентами, як зі сталими, при коваріантному диференціюванні, наприклад,

ai,k (gija j ),k gija j,k .

Векторне поле називається однорідним, якщо воно не змінюється від точки до точки. Коваріантна похідна однорідного век-

§ 5. Векторні диференціальні операції у криволінійних системах координат

Виразимо основні диференціальні операції через коваріантні похідні відповідних полів та знайдемо їх вигляд в ортогональних криволінійних координатах.

Градієнт скалярного поля grad – це вектор, що має напря-

мок найшвидшого зростання скалярної функції і за абсолютною величиною дорівнює похідній за цим напрямком.

визначають як вектор, коваріантні компоненти якого рівні qi (тут qi – узагальнені криволінійні

170