Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ovta-posibnyk

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Контрольні запитання

1.Дайте означення скалярного і векторного полів та наведіть приклади.

2.Що називається поверхнею рівня? Напишіть рівняння сім'ї поверхонь рівня електричного поля точкового заряду, який зна-

ходиться у точці M ( x0 , y0 , z0 ) .

3. Дайте означення похідної за напрямком для скалярного та векторного полів.

4. Дайте означення градієнта скалярного поля. Як пов'язана похідназанапрямкомізградієнтомскалярногополявційточці?

5. Що називається векторною лінією? Напишіть диференціальні рівняння для векторних ліній.

6. Яке векторне поле називається потенціальним? Наведіть приклади.

7. Сформулюйте необхідну та достатню умову незалежності

криволінійного інтеграла A dr A1dx A2dy A3dz від шля-

C C

ху інтегрування, яка використовує похідні першого порядку.

8.Що називається циркуляцією векторного поля вздовж кривої? Напишіть вираз для циркуляції у векторній формі.

9.Напишіть формулу Стокса і сформулюйте умови, за яких ця формула справедлива. Який фізичний зміст формули Стокса?

10.Дайте інваріантне означення ротора векторного поля. Який фізичний зміст поняття ротора?

11.Яке векторне поле називається безвихровим?

12.Яке векторне поле називається соленоїдальним?

13.Що таке скалярний потенціал, векторний потенціал?

14.Що таке оператор Гамільтона ( )?

15.Запишіть за допомогою оператора Гамільтона (набла) градієнт скалярного поля, дивергенцію та ротор векторного поля, похідні скалярного та векторного полів за напрямком.

16.Що таке повна похідна, локальна похідна, конвективна похідна? Що вони характеризують та якими співвідношеннями зв'язані?

17.Як уводиться додатний напрямок обходу контуру, узгоджений з орієнтацією поверхні, обмеженої цим контуром?

131

18.Що називається потоком векторного поля через поверхню? Напишіть вираз для потоку у векторній формі.

19.Запишіть формулу Остроградського–Гаусса у декартових координатах і у векторній формі. Який її фізичний зміст?

20.Дайте інваріантне означення дивергенції векторного по-

	ля. Який фізичний зміст дивергенції?
	21. Наведіть приклади фізичних полів, для яких
	21. Наведіть приклади фізичних полів, для яких	а) div A 0 ,
	б) rot A 0 .

22.Запишіть узагальнену теорему Остроградського–Гаусса.

23.Запишіть узагальнену теорему Стокса.

24.Як зобразити довільне векторне поле у вигляді суми потенціального і соленоїдального полів?

Задачі

6.1. Обчислити8:

;

а) r; б)

r ); в) rn ;г) (a r )r; д)

r ) f (r);

є) ln r; ж)

)r ; з) (a

r )(b

r ); і) (a

a r

к) a r

; л)

r )2 ;

м)

6.2. Для наведених векторних полів

обчислити

та

div A

rot A:

а) r

; б)rr

;

в) rr

, n 2; г)

; д)

;

є)

; ж) a

r ;

з) r (a r );

і) a(b

r );

к) arn ; л) a

b);

м) r a r ;

н)

a r

; о)a ln r;

п)r a r .

6.3. Перетворити вирази: а) (r) ;

б) div A(r) ;

в)

rot A(r) .

a ,

8Тут і в наступних задачах радіус-вектор точки r (x, y,z) ,

r | r

| ,

– сталі

вектори. Це передбачає використання саме декартової системи координат.

132

6.4. Спростити вирази:

r ) (r));

б)div((a

в)rot((a

а) ((a

r ) A(r));

д)div((a

г) ((a r ) A(r));

r ) A(r));

є)rot((a r ) A(r)).

(r)

6.5. Обчислити: а) (r) ; б)

;

в)

A(r) ; г)

(a r )

6.6. Обчислити (вектори a, k

– сталі):

ikr

ik r

;

; в)

ikr

);

а) e

б) e

r); г) ((a

r )e

ikr

);

є)

ikr

);

ikr

);

д) div(ae

rot(ae

ж) div(A(r)e

з) div

;

eik r

л)

м)

eikr .

і) rot

eikr

;

к) eik

r ;

;

6.7. Знайти таку функцію (r),

що div(r (r)) = 0 .

6.8. Для

якої

функції

(r)

виконується

рівність

div(r (r)) = 2 (r) ?

6.9. Обчислити ротор та дивергенцію вектора a r (r) .

6.10. Обчислити

A(r )

де

A(r ) = 12 B

r ;

p ,

B – сталі вектори; е, с, m – числові параметри (результат обчис-

лення – сила, яка діє на частинку із зарядом е у магнітному полі,

із точністю до знака).

6.11. Спростити вирази: а) div( (r )a) ;

б)

div( (r ) A(r )) .

6.12. Спростити вирази:

а)div (r)r ;

б)rot (r)r ;

в)(a

)( (r)r ).

6.13. Обчислити rot rot (r)a

6.14. Обчислити:

а) ( A(r) r ); б) ( A(r)

B(r)); в) div( (r) A(r)); г) rot( (r) A(r));

д) (a ) (r); є) (a

)( (r) A(r)); ж) (r

) (r);

a r

з) div

(r)

; і) (r

)

; к) (a

) A(r).

6.15. Обчислити: а) (a

)

; б) (a

)

; в) (a

) r .

133

6.16. Обчислити: а) f (r) ; б) div A f (r ) ; в) rot A f (r ) , де f (r ) – деяка скалярна функція векторного аргументу. Розглянути частинний випадок f (r ) = a r .

6.17. Довести інтегральні теореми, що є наслідками теореми

Стокса:
а)			) dS;		б)
а)	dl = (n		) dS;		б)	( ) dl = 0;
L( S )		S			L( S )
в)	( A) dl =		(n	) AdS.
L( S )			S

6.18. Поверхневийінтеграл n dS перетворитинаоб'ємний.

S(V)

6.19. Об'ємний інтеграл rot AdV

перетворити на

по-

верхневий.

6.20. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) r a n dS;

б) n(a r ) dS;

в) a(n r ) dS;

S (V )

г) r (n a) f (r) dS; д)

(n b ) (a r ) dS.

S (V )

Тут a

та b

– сталі вектори.

де L(S)

6.21. Обчислити інтеграл

–

плоский

r ) dl ,

L(S )

замкнений контур, що обмежує площу S .

6.22. Обчислити інтеграл

dl, де L(S) – замкнений

L(S )

контур, що обмежує площу S на площині r n = d .

6.23. Довести тотожності:

а) r

( a)dl =

) adl; б)

(r a) dl =

a) dl.

L(S)

6.24. Перетворити поверхневі інтеграли на об'ємні:

(r) dS;

а) (n

r )(a

r ) dS; б)

nf (a r ) dS; в)

S (V )

134

г)

n a f (r) dS; д) n r a r dS.

S (V )

Тут a – сталий вектор,

– орт нормалі до поверхні S(V), що

обмежує об'єм V.

6.25. Перетворити поверхневі інтеграли на об'ємні:

а)

в)

n dS; б)

( A

B) n dS;

dn dS

;

S (V )

г)

д)

( A ) n dS;

dn dS;

S (V )

є)

(rot A

A) n dS (при div A = 0);

ж)

( A

n) BdS.

S (V )

Тут A , B , ,

та

– функції, залежні від r ;

– орт нормалі

до поверхні S(V ) , що обмежує об'єм V.

( a ,

6.26. Перетворити

поверхневі

інтеграли

на

об'ємні

–

сталі вектори):

а)

A(r ))n dS;

б)

aeik r n dS;

S (V )

ik r

в)

dS;

г)

n dS.

S (V )

6.27. Перетворити контурні інтеграли на поверхневі ( a ,

–

сталі вектори):

ik r

а) aeik r

dl;

б)

eik

r dl; в)

dl.

L(S )

6.28. Довести, що

j (r ) dV = 0 ,

якщо

div

= 0 всередині

об'єму V та j n = 0 на поверхні S(V ) , що обмежує об'єм V.

div A(r )

6.29. Показати,

що дивергенція вектора A

| r

r |

дорівнює нулю для довільного об'єму V.

135

Розділ 7 Вектори та тензори

у косокутних системах координат

При дослідженні ортогональних тензорів та їх застосуванні, достатньо було користуватися лише нижніми індексами, оскільки в декартових системах координат немає різниці між використанням верхнього чи нижнього індексу. Для узагальнення поняття тензора і застосувань тензорів у довільних системах координат обов'язковим є введення як нижніх, так і верхніх індексів.

Раніше ми прийняли угоду про підсумовування у такій формі: у кожному доданку підсумовування здійснюється за довільними двома латинськими індексами, що повторюються (див. розд. 1, п. 2.2). Зазвичай угода про підсумовування вводиться у формі, запропонованій А. Ейнштейном: підсумовування здійснюється лише у тому випадку, коли в доданку однакові один верхній і один нижній індекси. Тому далі пара німих індексів складатиметься з одного верхнього й одного нижнього індексів.

Для символів Кронекера використовуватимемо позначення ij або ji , а для символів Леві-Чівіта – eijk або eijk . Кожен із цих

символів визначається так само, як відповідні символи в декартових системах координат із нижніми індексами.

Косокутні системи координат уводяться за наявності трьох виділених некомпланарних векторів у фізичній системі, серед яких не всі ортогональні або рівні за довжиною. Наприклад, у монокристалі такими є вектори основних трансляцій (за винятком простої кубічної ґратки). Якщо ці вектори обрати за базисні, система координат буде косокутною (або афінною).

136

§ 1. Коваріантні та контраваріантні координати вектора

Якщо прямолінійні осі координат x1, x2 , x3 і відповідні ба-

зисні вектори e1 , e2 ,				e3 не є ортогональними, то довільний век-
тор a можна задати двома різними способами (рис. 7.1):
1) розкладанням його за векторами базису;
2) за допомогою ортогональних проекцій вектора a								на осі
координат.
Нехай e	–	різної довжини напрямлені по x1, x2 , x3						базисні
i	,e	,e
вектори, e	,e	,e	0 . Тоді справедливе співвідношення:
1	2	3		1	2	3	i
				1	2	3	i
			a	a e1 a	e2	a e3	a ei .

Набір чисел a1,a2 ,a3 однозначно визначає вектор a . Тому ці

числа можна назвати його координатами. Такі координати нази-

вають контраваріантними.

					a2		x2
					a2
					e2
	a2	e2
	a2	e2
	e2						a
	e2
O	e1		a1	e1		a1	x1
O

						e1
						e1

Рис. 7.1. Коваріантні та контраваріантні координати вектора на площині: вирази біля точок відповідають відстаням, виміряним в тих самих одиницях, що і довжини всіх векторів

Розглянемо скалярні добутки

a1 a e1 , a2 a e2 , a3 a e3 .

За означенням скалярного добутку

a1 a e1

cos ax1

де

a 1 – ортогональна проекція вектора a

на вісь x1

137

ai a ei a ik ek ik a ek ik ak ,

тому старий базис виражається через новий так:

ei ik ek .

ax1

, ax2

, ax3

Таким чином, числа a1,a2 ,a3

визначають ортогональні про-

екції вектора a на координатні осі, а тому і сам вектор. Отже, їх також можна вважати координатами вектора a . На відміну від

a1,a2 ,a3 їх називають коваріантними координатами.

Надалі будемо позначати контраваріантні координати вектора верхніми індексами, коваріантні – нижніми.

Таким чином, вектор a у косокутній системі координат визначається своїми контраваріантними ai (i 1,2,3) або коваріан-

тними ai (i 1,2,3) координатами:

a aiei , ai a ei .

Виявляється, що при переході до іншого базису закони перетворення ко- і контраваріантних координат є різними. Розгляне-

мо перетворення базисних векторів
	k			(7.1)
ei i	ek ,			(7.1)
що задається деякою матрицею переходу		A	ik		, det A 0 ,
що задається деякою матрицею переходу		A	ik		, det A 0 ,

для якого існує обернене перетворення. Оберненому перетворенню відповідає обернена матриця переходу

A 1 B ik , ik k j i j , (7.2)

(7.3)

У новій системі координат коваріантні координати вектора a будуть

тобто коваріантні координати вектора перетворюються за таким самим законом, як і базисні вектори ei :

ai ik ak .

(7.4)

Звідси і походження назви – коваріантні, тобто такі, що "змінюються так само".

138

З іншого боку маємо

a aiei ai ik ek a k ek .

Отже, координати ai змінюються протилежним чином, якщо порівнювати із законом перетворення базисних векторів, і перетворюються за допомогою транспонованої оберненої матриці:

a k ai ik ik ai ,

(7.5)

а тому називаються контраваріантними координатами. На коваріантність або контраваріантність координат указує нижній або верхній індекс набору координат, відповідно.

Зауважимо, що раніше ми розглядали лише ортогональні пе-

ретворення B A 1 AT , для яких перетворення коваріантних та контраваріантних векторів збігалися, а тепер перетворення координат векторів здійснюються за законами (7.4) і (7.5), в яких

B A 1 AT .

Формули

ai ik ak , a k ai ik

задають закон, за яким перетворюються координати вектора при переході від однієї косокутної системи до іншої. Іншими словами, ці формули визначають трансформаційні властивості координат вектора.

Зв'язок між кота контраваріантними координатами. Набори

координат ai та ai є різними представленнями одного і того

самого вектора. Між цими представленнями існує певний зв'я- зок. Він є лінійним, однорідним і здійснюється за допомогою

об'єкта другого рангу, який позначається gij і називається фун-

даментальним об'єктом або фундаментальною матрицею. Цей

зв'язок випливає з означень відповідних координат a j a e j ai (ei e j ) ai gij ,

де
gij ei e j	(7.6)

– компоненти фундаментальної матриці.

Зупинимосянаосновнихвластивостяхфундаментальноїматриці: 1) gij g ji , тобто матриця симетрична;

139

2) det

g det (e

) e

,e 2

0 ,

g ,

(7.7)

величину

g вважають псевдоскаляром, приписуючи їй певний

знак відповідно до формули (7.7);

3) існує обернена матриця gij : gik gkj i j , gij g jk ik , det gij 1/ g ;

4) ai gija j , ai gija j , тобто за допомогою фундаменталь-

ної матриці та оберненої до неї можна опускати та піднімати індекси ("жонглювати індексами").

Скалярний добуток векторів. У косокутних координатах скаляр-

нийдобутокможна		податичерезкоординатибудь-якоготипу:
a b	aie	b je	j	g	ij	aib j a	b j g jia	b aib .		(7.8)
	i		j		ij	j		j i	i

У § 3 буде показано, що компоненти фундаментальної матриці утворюють тензор. Його називають метричним тензором,

оскільки він задає спосіб обчислення відстані між точками

простору. Якщо координати точок xi та xi dxi , то квадрат відстані між ними

ds2 gijdxidx j .

§ 2. Векторний і мішаний добутки векторів, взаємний базис

Запишемо добутки спочатку через коваріантні координати век-

торів. Скористаємосятотожністю (1.20) про два мішані добутки.

a a

(a,b,c ) e

b e

b b b

де e1,e2 ,e3 – базисні вектори, задані відносно деякої косокутної системи координат. Звідси випливає, що

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.12.20182 Мб5Otvety_na_voprosy_k_ekzamenu_po_teoreticheskim.doc
#
01.03.2025187 Кб0Otvety_s_logiki_na_ekzamen_33__33__33b wefr sdg...doc
#
01.04.2025153 Кб2otvety_upravlenie-1.docx
#
09.11.2019745 Кб6overview_american.doc
#
09.11.20191 Мб21overview_British.doc
#
19.03.20152 Мб61ovta-posibnyk.pdf
#
07.03.20161 Мб56ovta-zbirnyk-zadach.pdf
#
01.07.20258 Мб15Oyzerman_T_I_Formirovanie_filosofii_marxizma.rtf
#
01.03.202512 Мб0p-IV.doc
#
01.05.2025209 Кб1Paket_testiv_EKON_P-VA печать.doc
#
01.07.2025396 Кб0PALEONT_RNP_for Stud.doc