therm_lections1-9

Лекция 3.

Термодинамический расчет процессов.

Определение. Процессом называется непрерывная смена состояний рабочего тела.

Термодинамический расчет подобного физического изменения состояний является в сущности приложением выработанного в предыдущих лекциях термодинамического аппарата к инженерным и научно-техническим задачам. Физика обработки технологических потоков в химических технологиях при их различных фазовых состояниях безусловно влияет на методику расчета.

Замечание. Часто в инженерии используется термин «газ» и нередко термин «пар». Каково происхождение этих терминов и их соотношение? Исторически (в средние века) вещество называли газом, если не могли (по техническим причинам или по неведению) получить его в жидком состоянии. А если могли, то называли паром. Поэтому в те времена воздух называли газом, а Н2О в газообразном состоянии – паром. Сейчас проблема ожижения любого газа (и вещества), даже перевод его в твердое состояние, решена. Студентам следует относиться к словам «газ» и «пар» какого-то вещества в определенном состоянии как к синонимам.

Цель расчета процесса: определение исходных данных для создания технологии или расчета, оптимизации и выбора аппарата или машины.

Этапы термодинамического расчета процессов.

1. До численного решения установить термодинамические особенности процесса (постоянство какого-то параметра или отсутствие какого-то взаимодействия с внешней средой). Иными словами, определить инварианты процесса.

2.Найти уравнение процесса.

3.Получить связь между параметрами состояния (p, v, T,s) рабочего тела для двух произвольных состояний процесса.

Вэтой лекции мы в основном сосредоточимся на реализации этапов и порядка расчетов по виду (по особенностям) процесса, а не по свойствам рабочего тела.

1.Политропный процесс.

1.1.Уравнение процесса.

Влекции 2 довольно кратко уже говорилось о политропе, теперь – подробнее.

Уравнение политропического процесса имеет вид: pvn = const, n = const.

Но это не единственная форма связи параметров состояния, возможны комбинации: pTn΄ = const, n΄ = const или vTn΄΄= const, n΄΄= const.

Далее, для примера, будем работать с уравнением pvn = const, n = const.

На практике показатель политропы n находят экспериментально следующим образом:

pvn = const → lnp + nlnv = const → lnp = - nlnv + const.

Последнее выражение представляет собой уравнение прямой линии в координатах lnp – lnv. В эксперименте с каким-то веществом для различных условий измеряют давление р и удельный объем v с какой-то инструментальной точностью. Далее строят график в осях lnp – lnv (см. рис. 3. 1) и по нему находят показатель политропы n.

Рис. 3. 1. Иллюстрация к экспериментальному определению показателя политропы n – индикаторная диаграмма

влогарифмических координатах. n = - tgα.

- обозначение экспериментальных точек.

Истоки вывода уравнения pvn = const уходят в анализ работы реальных поршневых машин (паровых и компрессоров). При анализе их работы снимали индикаторную диаграмму p = f(x), где х – ход поршня. От индикаторной диаграммы всего один шаг до p – v диаграммы.

Показатель политропы n в уравнении pvn = const в сущности отражает интенсивность изменения параметров в процессе, т.е. характер смены состояний. А параметры изменяются под влиянием внешних воздействий q и w на термодеформационную систему. Поэтому мы в праве ожидать, что n = n(q,w). Проверим это ожидание.

Исходное уравнение политропы pvn = const в логарифмической форме

lnp = -nlnv + const

после дифференцирования принимает вид:

Иными словами: показатель политропы n есть отношение элементарной работы проталкивания к элементарной работе деформации (сжатия или расширения), и наши ожидания подтвердились.

Далее, вспомним первый закон термодинамики в форме

du = dq – dw → du = dq – pdv → pdv = dq – du; (3.2.1)

Подстановка (3.2.1) и (3.2.2) в (3.1) дает результат:

В лекции 2 подробно рассматривалось понятие теплоемкости и было показано, что dq = cdT. Одновременно, для идеального газа и любого процесса были получены связи

du = cvdT и dh = cpdT.

Тогда зависимость (3.3) для идеального газа принимает вид:

Следовательно, показатель политропы n для идеального газа получил вполне определенный смысл – это функция теплоемкостей.

Из (3.4) попутно получим зависимость истинной политропной теплоемкости сn от показателя политропы n , чтобы можно было рассчитывать количество теплоты так, как это принято в калориметрии dq = cndT. Действительно (см. (3.4)),

c ≡ cn = (ncv –cp) / (n – 1) = cv (n – k) / (n – 1). (3.5)

В (3.5) величина k ≡ ср/сv носит название коэффициента Пуассона и является показателем адиабаты. Для двухатомных газов k ≈ 1,4. Так как n = const и k = const, то (3.5) справедливо и для средней политропной теплоемкости:

для любых двух состояний процесса. Для рабочих тел, у которых уравнения состояния или сложны или, чаще, просто отсутствуют, найти связь температуры Т с другими параметрами состояния р или v аналитическим путем невозможно.

Для идеального газа, т.е. кроме связи pvn = const еще справедлива связь pv = RуT, сочетание этих зависимостей позволяет получить взаимосвязь:

Замечание. Вывод связей (3.8) предлагаем провести самостоятельно.

1.2.1. Частные политропные процессы.

Если какой-то параметр состояния при взаимодействии с внешней средой фиксировать, то процесс, входящий в гамму политропных, называют частным:

pvn = const и p = const → n = 0 – изобарный,

иколичеств воздействия (функций процесса q, w).

1.3.1.Рабочее тело - идеальный газ.

Влекции 2 представлены все способы, расчетные формулы для определения изменения функций состояния и функций процесса при любом n для любого вещества. Исключение среди них составляет процесс с n = 1, т.е. изотермический процесс. Действительно, раcчетная формула для работы деформации

w = Rу(T1 – T2) / (n – 1) и n → 1, т.е. T1 → T2,

демонстрирует неопределенность типа 0 / 0. Здесь поступаем следующим образом. Для процесса T = const и идеального газа имеем

u = cv|t1t2(t2 – t1) и при t2 = t1

0 = u = q – w → q = w = ∫pdv

и pv = RуT → p = RуT / v; подставим эту зависимость в интеграл для работы:

Таким образом, рассчитывается не абсолютное значение энтропии, а ее условное значение от s0 = 0 при избираемом удобном состоянии вещества. В инженерной практике для газов это – р = 1 бар (или 1 ата) и Т = 273К.

Замечание. Глядя на расчетные формулы (3.5) и (3.6) для истинной и средней политропной теплоемкости, видно, что при n → 1 обе теплоемкости стремятся к ±∞. Это и понятно из самого определения истинной и средней теплоемкости: делить на 0 математика не разрешает. Но это совсем не мешает рассчитать количество теплоты и изменение энтропии термодинамически, без использования калориметрии, т.е. без применения понятия теплоемкости.

Ссылка. В методических указаниях по дисциплине «Техническая термодинамика» для самостоятельной работы студентов, разработанных проф. П. Г. Алексеевым в 2003 году, МИТХТ, на стр. 16 представлена таблица 5.1, в которой приводятся в концентрированном виде все соотношения и расчетные формулы для расчета процессов при любом значении n для идеального газа.

1.3.1.1. Правило изотермы и адиабаты.

Очень часто в инженерных задачах и в физико-химическом исследовании процессов с рабочим телом необходимо знать только знак изменения функций состояния u, h, s и функций процесса q, w. Сама величина этих изменений бывает и не нужна. Для решения этой задачи существует прием, позволяющий очень просто и наглядно ответить на поставленный вопрос.

Рассмотрим рис. 3.3.

Рис 3.3. Иллюстрация правила изотермы.

На изотерме T = const возьмем произвольную точку «а». Наверное, понятно, что все процессы, выходящие из точки «а» на изотерме «вверх» (см. диаграмму T – s), характеризуются ростом температуры T > 0. Зато все процессы, выходящие из точки «в» «вниз» (опять см. диаграмму T – s), дают T < 0.

Рассмотрим рис.3.4.

Рис. 3.4. Иллюстрация правила адиабаты.

На адиабате s = const возьмем произвольную точку «а». Все процессы, выходящие из т. «а» вправо (см. диаграмму T – s), характеризуются ростом энтропии s > 0. Все процессы, выходящие из точки «в» влево (опять см. диаграмму T – s) характеризуются уменьшением энтропии s < 0.

Практическую работу правила изотермы и адиабаты проиллюстрируем на примере.

Пример. Определить знаки изменения энтропии s, функций состояния u, h и функций процесса q и w для процесса расширения идеального газа с показателем политропы n = 0,8.

Решение.

Строим политропу с показателем n = 0,8 на фоне частных, характерных процессов в одной какой-нибудь диаграмме или в обеих p – v и T – s так, как рекомендовано выше. Точку «а» располагаем на плоскости диаграммы произвольно (см. рис. 3.5).

Рис. 3.5. Иллюстрация применения правила изотермы

иадиабаты при решении задачи.

1.Отмечаем, что по условию v > 0 (расширение). Следовательно, w > 0.

Замечание. Если в предыдущей задаче сделать n = 1.2 и по-прежнему рассмотреть расширение газа, то Т < 0, а s > 0. Тогда ответ задачи: u < 0, h < 0, s > 0, q > 0, w > 0, т.е. при росте энтропии (теплота подводится) температура уменьшается (за счет совершаемой работы над окружающей средой).

Замечание. Вся сложность применения правила изотермы и адиабаты только в грамотном расположении политропы на фоне частных политроп с n = 0, 1, k и ∞, помятуя, что k = 1,3 – 1,6 (для одно – трех атомных газов).

1.3.2. Процессы с рабочим телом реальных свойств. (пары и жидкость)

Весь предыдущий материал в лекции 2 и этой лекции показывает, что аппарат термодинамики позволяет рассчитать любой процесс наиболее просто для идеального газа. Достаточно знать показатель политропы n , иметь таблицы теплоемкостей, и буквально на кончике пера получаем все количественные результаты с большой точностью.

Как только (см. определение понятия идеального газа в лекции 2) молекулы вещества станут близко друг к другу, так сразу их поведение начинает определяться силами взаимодействия (притяжения или отталкивания), приходится считаться с ее размерами и пространственным строением реального конгломерата. С точки зрения термодинамики это означает, что во внутреннюю энергию u(s,v) входит теперь не только кинетическая энергия поступательного движения молекул (как целого), но и потенциальная энергия взаимного

расположения молекул, еще и кинетическая энергия вращения молекул и колебательных движений ее частей.

Истинные физические свойства веществ проявляются прежде всего в своем фазовом состоянии – газ (пар), жидкость или твердое. И все эти три фазы на практике используются в качестве рабочих тел. Фазами в термодинамике названы однородные (гомогенные) части системы (рабочего тела), одинаковые по своим свойствам. Обычные фазы – твердое, жидкое и газообразное (пар).

Сложность термодинамического и математического анализа этих состояний вещества и процессов с ними состоит в отсутствии или чрезвычайной громоздкости их уравнений состояния.

Как известно из физики, одно из таких уравнений – это уравнение Ван дер – Ваальса:

(p + a/v2)(v – b) = RуT.

Существует справочная литература, в которой для многих веществ указаны коэффициенты а и b этого уравнения. Несложно увидеть, что это уравнение нелинейное, параметр состояния v входит в уравнение в третьей степени. Существуют и более сложные уравнения.

Всего же сейчас их насчитывается свыше 300 для различных веществ. Например, для H2O – самого распространенного на земле вещества и самого используемого человеком – в фазе пара уравнение состояния содержит 13 нелинейных слагаемых.

Как же используются такие уравнения для термодинамического расчета процессов с реальными рабочими телами? Специализированные научно-исследовательские организации изучают физические свойства рабочих тел, создают математические модели (уравнения состояния), проверяют эти модели на эксперименте в достаточно больших интервалах изменения параметров. Инженерным продуктом таких научных работ являются диаграммы состояния или таблицы. Входом в эти таблицы являются термодинамические параметры состояния – давление р и/или температура Т, а наполняются эти таблицы числовыми значениями параметров и функций состояния: энтропии s, удельного объема v, энтальпии h для различных фазовых состояний.

Рассмотрим фазовые диаграммы p – v и T – s в их типичном виде, т.е. для многих различных веществ (см. рис.3.6.).

Рис. 3.6. Типичная фазовая диаграмма p – v и T – s. тв – вещество в твердом состоянии, ж – в жидком, ж+п –

влажный (насыщенный) пар, п.п. – перегретый пар. К – критическая точка.

На рис. 3.6 сплошными линиями нанесены фазовые кривые, т.е. граничные линии изменения фазового состояния вещества. Эти линии делят всю плоскость диаграммы на области, внутри которых фазовые состояния стабильны. На диаграмме p – v линия «аб» отделяет твердую фазу от жидкой, на самой линии происходит процесс плавления или затвердевания. Линия «аК» отделяет жидкую фазу от насыщенного (влажного) пара. Эту линию называют нижней пограничной кривой или линией насыщения жидкости. На самой линии «аК» отражены состояния жидкости при температуре кипения. Она разделяет состояния жидкости от состояния пара. Линия «Кв» отделяет область насыщенного пара от области перегретого пара. Еще эту линию называют верхней пограничной кривой и на ней отражены состояния сухого насыщенного пара.

Определение. Влажным (насыщенным) паром называется механическая смесь кипящей жидкости и сухого насыщенного пара.

Следствие. Все свойства насыщенного пара обладают аддитивностью свойств частей, т.е. свойств кипящей жидкости и свойств сухого насыщенного пара.

Все параметры насыщенного состояния жидкости обозначаются буквой с одним штрихом:

v΄, s΄, h΄, u΄.

Соответственно, все параметры состояния сухого насыщенного пара обозначаются буквой с двумя штрихами:

v΄΄, s΄΄, h΄΄, u΄΄.

Все параметры состояния перегретого пара вещества обозначены так же, как и газа, v, s, h, u,

и этим подчеркивается термодинамическая общность пара и газа. Иногда, пар называют газом, близким к состоянию насыщения.

Определение. Степенью сухости влажного (насыщенного) пара называется отношение массы сухого насыщенного пара к массе влажного пара:

Из определения степени сухости х влажного пара следует, что линия «аК» на рис.3.6 слева и линия «оК» справа – это линия х = 0 (здесь находится только жидкая фаза). Соответственно, линия «Кс» на обеих диаграммах рис.3.6 – это линия х = 1 (жидкой фазы нет, только сухой насыщенный пар).

Рассмотрим ход характерных процессов на фазовых диаграммах p – v и T – s (см.

рис. 3.7).

Рис. 3.7. Характерные процессы на фазовых диаграммах.

Показаны траектории процессов p = const, v = const, T = const, s = const.

В области насыщенного (влажного) пара изотерма и изобара совпадают.

Для каждой изотермы (изобары) в области влажного пара на рис.3.7 показаны параметры состояния v΄ и v΄΄ и s΄ и s΄΄ - параметры состояния кипящей жидкости и сухого насыщенного пара соответственно. Зная эти величины, не сложно найти параметры состояния любой точки на изотерме (изобаре) между фазовыми кривыми. Здесь будем пользоваться определением степени сухости влажного пара и аддитивностью его свойств:

vx = (1 – x)v΄ + xv΄΄,

sx = (1 – x)s΄ + xs΄΄ = s΄ + xr / T,

hx = (1 – x)h΄ + xh΄΄ = h΄ + xr,

ux = (1 – x)u΄ + xu΄΄ или ux = hx + pvx. (3.12)

Для s, u, h в любом фазовом состоянии берутся их условные значения, сведенные в таблицах «Термодинамические свойства веществ».

Ниже, для примера, представлен фрагмент таблицы насыщенного водяного пара (по давлениям).

В справочной литературе существуют аналогичные таблицы насыщенного пара вещества по температурам. Зная давление или температуру вещества, по таблицам можно определить его параметры в состоянии фазового перехода, а далее по формулам (3.12) рассчитать параметры состояния влажного пара при любом х.