therm_lections1-9

Рис. 4.4. Технологическая схема, реализующая тепловой цикл Карно.

Точки 1, 2, 3, 4 соответствуют этим же точкам на диаграммах p – v и T – s на рис.(4.3).

Рассмотрим этот цикл, считая что рабочее тело – идеальный газ. В процессе 1 – 2 Т1 = const . Следовательно, u = q – w = 0 и q = w. Т.е. вся теплота из источника теплоты q1 переходит в работу расширения w12. В процессе 2 – 3 надо «опуститься» на нижний температурный уровень Т2 адиабатно (s2 = const), следовательно, q23 = 0 и все изменение внутренней энергии в процессе переходит снова в работу расширения, т.к. u23 = -w23.

Здесь вспомним, что в процессе 2 – 3 dT < 0 → u23 < 0 → w23 > 0, т.е. рабочее тело отдает работу расширения во внешнюю среду.

В процессе 3 – 4 происходит изотермическое сжатие. Снова dT = 0 → u34 = 0 → q34 = q2 = w34 < 0. Здесь теплота q2 уходит во внешнюю среду (в холодильник) и внешняя среда тратит работу сжатия w34.

Последний процесс 4 – 1 это процесс возврата рабочего тела в исходное состояние, в т. 1.

Процесс адиабатный (s1 = const). Здесь dT > 0, u41 > 0 → u41 = -w41 → w41 < 0,т.е. внешняя среда тратит работу на сжатие в компрессоре.

Выбор процессов, образующих цикл Карно, замечателен тем, что то dT = 0, то ds = 0, т.е. то du = 0, то dq = 0. И при такой комбинации процессов, образующих цикл Карно, наиболее просто получать работу во внешнюю среду и наиболее экономичны сами энергетические результаты (полнота обращения теплоты и внутренней энергии в работу и обратно).

Теорема Карно.

Эта теорема была доказана немецким термодинамиком Р. Клаузиусом (1822 – 1888) через полвека после публикации идей Карно в 1824 году. Результаты доказательства теоремы Карно для теплового двигателя были естественным путем перенесены на холодильный цикл Карно.

Теорема Карно содержит три результата:

1.Термический коэффициент полезного действия определяется выражением (4.6).

2.Термический коэффициент полезного действия не зависит от свойств рабочего

тела.

3. Термический коэффициент полезного действия максимален среди всех других циклов в тех же температурных пределах.

Доказательство первого утверждения уже проведено в (4.6).

Доказательство второго состоит в следующем. Зададимся вопросом: «В каких параметрах состояния, в каких функциональных связях непосредственно проявляются теплофизические свойства конкретных, индивидуальных веществ?». Ответ на вопрос таков: изменение энтропии (см. лекцию 2) рассчитывается через среднюю массовую теплоемкость вещества, а она является характеристикой этого вещества. Далее, уравнения состояния, т.е.

зависимость потенциала какого-то рода от всех координат состояния, индивидуально для каждого вещества в любой фазе. Это тоже носитель свойств вещества. Таким образом, изменение энтропии s в любом процессе сильно зависит от свойств вещества. Но в связи с тем, что величина s входит и в числитель и в знаменатель в выражении для ηtк, то эту величину можно сократить, и эта процедура строга математически. Отсюда и следует, что величина термического коэффициента полезного действия ηtк не зависит от свойств рабочего тела, носитель свойств s исчезла из выражения для ηtк.

Доказательство третьего утверждения получим из рассмотрения рис. 4.5.

Рис. 4.5. Иллюстрация к доказательству максимальности термического коэффициента полезного действия цикла Карно.

На рис. 4.5 показана диаграмма T – s , изображен цикл Карно и любой (произвольный)

цикл в тех же температурных пределах Т1 и Т2. Вспомним, что

ηtк = 1 – q2 / q1,

где q1 – количество теплоты, полученной рабочим телом в источнике теплоты, q2 – количество теплоты, отданной рабочим телом в холодильнике.

Глядя на рис. 4.5 видно, что q2 > q2к на величину заштрихованной справа налево площади под графиком. Здесь q2 – отданная теплота в холодильнике любого цикла, q2к – то же, но в цикле Карно. Аналогично, видно, что q1к > q1, поэтому в целом ηtк > ηt для любого цикла, вписанного в цикл Карно. Теорема Карно доказана.

Пример. Температура вспышки паров бензина в двигателе внутреннего сгорания (ДВС) равна примерно 20000С, а температура атмосферы летом 200С. Найти термический коэффициент полезного действия двигателя ДВС, работающего по циклу Карно.

Решение.

ηtк = 1 – Т2 / Т1 = 1- (20 + 273) / (2000 + 273) = 0,87 = 87%. Ответ: ηt = 87%.

Это значит, что, залив в бак автомобиля 100 л бензина, 87 л пойдут на движение автомобиля, а 13 л будут истрачены на нагрев атмосферы. Реально ηt ≈ 35% для лучших бензиновых ДВС. Следовательно, из 100 л бензина в баке только 35 л будут истрачены на движение, остальное - на рост энтропии в атмосфере. Хорошие дизельные двигатели (танковые, тяжелых грузовиков и т.д.) имеют коэффициент полезного действия ≈ 50%. Это предопределило превосходство советских танков над германскими бензиновыми во время Великой Отечественной войны и ускорило победу над германским фашизмом.

Самые совершенные (современные) паросиловые установки имеют ηt ≈ 42 – 45 %. Это означает, что из 100 вагонов угля, добытых в шахте и привезенных до ТЭЦ, меньше половины

будут превращены в электроэнергию, а остальные пойдут на рост энтропии в окружающей среде. Печально, но факт!

Особенности

циклов.

Генетической особенностью любых циклов (и прямых, и обратных, см. рис. 4.1 и 4.2) является необходимость вернуть рабочее тело в исходное состояние. Но сделать это без отдачи теплоты в холодильнике неосуществимо.

Можно провести цикл совершенно обратимым путем, с большей или меньшей степенью необратимости, но особенность, заключающаяся в отдаче части теплоты рабочим телом в теплоприемнике низкой температуры, свойственна циклу при всех обстоятельствах.

Именно поэтому нельзя осуществить тепловой цикл с одним источником теплоты (вечный двигатель второго рода), именно поэтому нельзя получить эффективность ηt = 1 (а при электрическом взаимодействии рабочего тела с внешней средой – можно).

Замечание. Еще раз подчеркнем, что этот вывод никакого отношения ко второму закону термодинамики не имеет.

х – продольная линейная координата. F(x) – текущая площадь сечения, м2.

Каковы виды (роды) взаимодействия рабочего тела в канале и внешней среды? Прежде всего – термическое и деформационное, уже знакомое нам по предыдущему материалу. Потенциал и сопряженная координата их уже хорошо известны: p – v и T – s.

У изучаемой термодинамической системы есть новое качество: упорядоченное движение, характеризуемое линейной скоростью w(x), м/с.

Предостережение. Ранее, буквой w мы обозначали удельную работу среды Дж/кг. Теперь этой буквой будем обозначать линейную скорость w(x), а для работы примем допустимое по ГОСТ обозначение l Дж/кг.

Первопричиной движения потока в термодеформационной системе (см. рис. 5.1) является конечная разность давления в окружающей среде ре и в рабочем теле (системе) р: р = ре – р. И всегда эти давления не равны, если существует поток массы по каналу.

Согласно лекции 1, давление относится к категории сил Х, и для потенциально – силовых взаимодействий первый закон термодинамики записывается как

U = ∑(P + P)dx - ∑(X + X)dx. (5.1)

Здесь U – внутренняя энергия среды, Дж, слагаемые справа – количества воздействий, Р, Х и х – потенциалы, силы и координаты состояния системы.

Уравнение (5.1) – запись первого закона термодинамики для конечных разностей потенциалов Р и движущих сил Х при неравновесных (необратимых) процессах, в которых всегда существуют побочные (некомпенсированные, вторичные) явления. Так и в нашем случае в открытой системе при конечных разностях давлений возникает движение. Это движение, упорядоченное перемещение характеризуется скоростью w, м/с, которая по своему смыслу является ПОТЕНЦИАЛОМ кинематического взаимодействия термодинамической системы с внешней средой. Разность скоростей обусловливает появление количества движения mw = J или w = J/m = j. Тогда элементарное количество взаимодействия, по определению, равно

w*d(mw) = wdJ, Дж или wdw = dj, Дж/кг.

В открытой системе появляется (проявляется) новое воздействие как результат возникновения вторичного силового эффекта Р = Ре – Р. Напомним, что в лекции 1 рассматривалась закрытая система: нет обмена массой с внешней средой, нет химических превращений. Поэтому разность давлений р создавала только деформацию (сжатие или расширение) объема V. В итоге вторичный эффект в открытой системе от силового воздействия (давления) описывается как

Х*dx = w*dj, Дж/кг.

Вторичный эффект иного рода – тепловой – относится к работе сил трения lтр на границе потока и канала и сил трения в объеме потока из-за существования поля скорости по радиусу канала. Работа сил трения lтр всегда приводит к росту (генерации) энтропии (см. лекцию 4). Происходит диссипация (рассеяние) энергии. Этот суммарный эффект (рост энтропии и от трения потока о стенки канала, и от трения в объеме потока) будем учитывать общим членом Tds (напомним, что энтропия s является координатой состояния термического взаимодействия системы с внешней средой).

Окончательно, (см. введение к этой лекции) из (5.1) получаем

du = Tds – wdj – dlтр – dlпотока (5.1 – а)

Иными словами, (5.1 – а) представляет собой общую форму записи первого закона термодинамики: изменение внутренней энергии системы равно сумме всех внешних воздействий. В (5.1 – а) первое слагаемое справа – все формы теплообмена рабочего тела в канале с внешней средой; второе – воздействие подвижной среды – массы движущегося газа, в объеме которого происходит работа потока (четвертое слагаемое); третье – работа сил трения.

Возможно и пятое слагаемое – техническая работа lтехн перемещения самого канала во внешней (окружающей) среде, как это происходит с ракетой, с самолетом с ракетными двигателями, с газовой или паровой турбиной.

В итоге поток сжимаемой среды в канале характеризуется изменением кинетической энергии поступательного движения (ее упорядоченная форма)

d(δm w2/2) = wd(δm w),

где δm = f(x) – элементарная масса в произвольном сечении х в бесконечно малом объеме F(x) dx канала (см. рис. 5.1).

На формирование, разгон и движение потока необходима энергия, которая получается за счет работы проталкивания газа (пара) по каналу. Проталкивание обеспечивается давлением подготовленного газа при поступлении к входному сечению канала х = 0 (см. рис. 5.1). Подготовка происходит или в компрессоре, или в камере сгорания топлива, или в котельном агрегате по выработке пара высокого давления и температуры. Начальная скорость потока w0 = w(x = 0) принимается обычно нулевой, но иногда ее определяют чисто гидравлически: w(x = 0)< 10 – 15 м/с.

Накопленная энергия

p2Vdp

p1

для процесса сжатия в компрессоре (см. рис. 5.2 – а) ранее названа «располагаемой работой». Теперь для потока она и есть «работа проталкивания» (см. рис 5.2 – b) – в сущности процесс обратный компрессии по формальному термодинамическому показателю: оба процесса адиабатные (без теплообмена), но один с ростом давления, а другой – с его падением.

Рис. 5.2. Иллюстрация к объяснению работы проталкивания потока в канале.

Первый происходит с затратой работы внешней средой (знак «- »), а второй – с отдачей работы на сторону, знак « + »).

Уравнение (5.1 – а) написано для неподвижного наблюдателя, чуть изменим его к виду:

du + d(w2/2) = δq – δlпотока – δlтрен + δlтехн (5.1 – в).

Это уравнение записано для системы координат, никак не связанной ни с потоком среды в канале, ни со стенками канала. Теперь «влезем» в физически малый объем движущегося потока F(x)dx, т.е. систему координат свяжем с самим потоком. Тогда уравнение баланса энергии запишется в обычной, знакомой уже форме:

du = δq – pdv – δqтрения ,

где теплота трения δqтрения = δlтрения. Вычтем это уравнение из (5.1 – в):

d(w2/2) = - δlпотока + pdv + δlтехнич. (5.1 – с).

Осталось только понять и раскрыть смысл полной работы потока lпотока. Этот смысл легко понять из рис. 5.3.

Рис. 5.3. Иллюстрация к пояснению полной работы потока.

Из рис. 5.3. следует:

Lпотока = ∫Vdp + ∫pdV = ∫d(pV) = p1V1 – p0V0, Дж,

или в удельных величинах lпотока = ∫d(pv), т.е. δlпотока = pdv + vdp, Дж/кг.

Окончательно, для адиабатического потока, для неподвижного канала δlтехнич = 0 и без трения уравнение (5.1 – с) принимает вид:

d(w2/2) + vdp = 0, Дж/кг. (5.2)

Уравнение (5.2) обычно называют механической формой описания движения потока. Теперь вспомним, что dh = Tds + vdp = δq + vdp и что для адиабатного течения δq = 0.

Тогда уравнение (5.2) принимает вид:

d(w2/2) + dh = 0, Дж/кг. (5.3)

Уравнение (5.3) обычно называют термической формой описания движения потока.

Замечание. Посмотрим на уравнение (5.2) и вспомним, что v ≡ 1/ρ. Тогда получаем:

d(w2/2) + dp/ρ = 0.

Одновременно, вспомним уравнение Бернулли в курсе гидравлики:

gZ + p/ρ + w2/2 = const → ρgZ + p + ρw2/2 = const,

где Z нивелирная высота, отвечающая за статическое давление ρgZ столба рабочей жидкости в поле силы тяжести. Уравнение Бернулли можно получить из (5.2) интегрированием при условии ρ = const, что справедливо только для жидкостей, для несжимаемых сред. При течении газов (паров) ρ = ρ(р,Т). Кроме того, для газов (паров) ρг << ρжидк (примерно в 1000 раз), поэтому можно не учитывать статическое давление столба газа (пара) в поле сил тяжести в (5.2).

2. Формализация полной термодинамической модели течения сжимаемых сред в канале.

Уравнения (5.2) и (5.3) еще далеко не образуют расчетный аппарат для поиска параметров потока газа (пара) в канале. Присоединим к этим уравнениям еще один закон, закон сохранения: сохранения массы. Его еще называют условием неразрывности (сплошности) течения.

Предварительно проведем еще одно упрощение: будем рассматривать одномерное течение, т.е. все характеристики и параметры рабочего тела в любом месте сечения F(x) (см. рис. 5.1) будем считать одинаковыми по радиусу сечения. Они теперь будут зависеть только от продольной координаты х: р = р(х), Т = Т(х), w = w(x) и т.д. Тогда массовый расход рабочего вещества в канале равен:

G = ρ(x) F(x) w(x) → G = F(x) w(x)/v(x) = const, кг/с.

Это и есть формализация закона сохранения массы в канале. Теперь это выражение прологарифмируем и далее продифференцируем:

lnF(x) + lnw(x) – lnv = lnconst → dF/F + dw/w – dv/v = 0. (5.4)

Уравнение (5.4) представляет собой запись закона сохранения массы в дифференциальной форме или уравнение сплошности (неразрывности).

Замечание. Уравнение сплошности не справедливо для потока людей, идущих по коридору переменного сечения. В узкой части коридора люди уменьшают свою скорость w(x), чтобы не толкаться и не давить друг друга (вспомните толпу людей перед эскалатором в метро в часы пик). Зато молекулы газа (пара) в узкой части канала начинают двигаться быстрее.

Для газовой и паровой фазы еще справедливо уравнение адиабаты (см. лекцию 2) pvk = const. Опять прологарифмируем это уравнение, а затем продифференцируем его:

lnp + k lnv = ln const → dp/p + k lnv/v = 0. (5.5)

Наконец, если рабочее тело в канале находится в состоянии идеального газа, то еще

pv = RT → lnp + lnv – lnR – lnT = 0 → dp/p + dv/v – dT/T = 0. (5.6)

И одновременно в (5.5) k = ср/сv для идеального газа.

Теперь напишем полную систему уравнений термодинамической модели потока газа (пара) в канале:

1.Уравнение энергии: dw2/2 + vdp = 0 или dw2/2 + dh = 0. (5.2) и (5.3)

2.Уравнение сплошности: dF/F + dw/w – dv/v = 0. (5.4)

3. Уравнение адиабаты: dp/p + k dv/v = 0. (5.5)

4. Уравнение состояния идеального газа: dp/p + dv/v – dT/T = 0. (5.6)

Условия единственности решения: w(x = 0) = 0 или w(x = 0) = w0. (5.7)

Всего искомых функций 5: w(x), p(x), v(x), T(x), h(x) и уравнений тоже 5. С точки зрения математики модель получилась замкнутой: число уравнений и число искомых функций одинаковы (это одно из условий корректности любой математической задачи). Заметим, что функция F(x) считается известной по постановке задачи.

Перечислим и назовем все гипотезы, предпосылки и упрощения при формализации модели, чтобы не было умолчаний и была ясна область применимости модели.

1 . Считаем, что канал теплоизолирован или скорость течения так велика, что процесс теплообмена не успевает произойти. Итак, адиабатичность. Одновременно, предполагаем отсутствие трения. Тогда s = const.

2.Канал, в котором движется поток газа (пара) – неподвижен. Тогда техническая работа потока нулевая.

3.Влиянием силы тяжести пренебрегаем, т.к. плотность газа (пара) ничтожно мала по сравнению с плотностью жидкости.

4.Все параметры и характеристики потока в любом сечении канала F(x) одинаковы по радиусу и зависят только от продольной координаты х.

5.Уравнение процесса в каждом сечении F(x) – политропа с показателем n = k.

6.Если рабочее тело в канале – идеальный газ, то параметры состояния еще, кроме политропы, связаны уравнением Клайперона-Менделеева pv = RT, а k = ср/сv.

3.Связь между величиной скорости потока w(x)

иразмером площади сечения канала F(x).

Из уравнения (5.5) получаем: dp/kp = - dv/v и подставляем вместо dv/v в уравнение

(5.4):

dF/F + dw/w + dp/kp = 0.

Далее, из (5.2) находим dp = -dw2/2v и подставляем в предыдущее уравнение: dF/F + dw/w – w dw/(kpv) = 0.

Из курса физики известно выражение зависимости скорости звука «а» через параметры

состояния вещества:

kpv = a2.

А так как р = р(х) и v = v(x) для потока в канале , то а = а(х) и является местной скоростью звука (скоростью распространения возмущений в веществе).

Окончательно, получаем:

dF/F + dw/w – w dw/a2 = 0 → dF/F = - (1 – w2/a2)dw/w → dF/F = - (1 – M2) dw/w. (5.8)

Здесь М≡w/a называют в аэромеханике числом Маха, по имени известного австрийского ученого Х1Х века.

Это уравнение позволяет провести кинематическое исследование движения газа в различных условиях сопряжения со стенками канала в условиях разгона потока (dp < 0 и dw > 0) и в условиях торможения (dp > 0 и dw < 0). Действительно, разгон потока в канале вдоль оси х, это dw > 0. Если на входе в канал (х = 0 см. рис. 5.1) скорость невелика, т.е. меньше скорости звука (w(x = 0)< a), то число Маха М < 1. Следовательно, (см. 5.8) при разгоне дозвукового потока dF < 0. Канал должен сужаться (такой канал называют конфузором).

При зазвуковой скорости потока на входе в канал (w(x = 0) > a и М > 1) получаем dF > 0, т.е. канал должен расширяться (такой канал называют диффузором).

На уравнение (5.8) можно посмотреть и иначе:

dw/w ~ dF/F.

Следовательно, при dF = 0 получаем dw = 0, т.е. в канале постоянного сечения (например, в трубе) скорость потока по длине канала постоянна.

Уравнение (5.8) по существу содержит прямые рекомендации инженерам, которые применяют высокоскоростные потоки в технике. Действительно, для практического получения сверхзвуковых потоков необходимо соединить конфузор (dF < 0) с диффузором (dF > 0). Такое устройство называют соплом (обычно, соплом Лаваля по имени его изобретателя). В химической промышленности эти устройства широко используются в центробежных компрессорах и центробежных расширителях (детандерах). Существуют аппараты для транспортировки газов и паров – инжекторы (нагнетатели газа) и эжекторы, отсасывающие газы из аппаратов. И, конечно, сопла используют в ракетной технике и авиации, как основной элемент ракет и двигателей для самолетов сверхзвуковой авиации.

На рис 5.4 представлена форма сопла Лаваля и качественное изменение параметров состояния газа (пара) вдоль сопла.

Рис. 5.4. Форма сопла Лаваля и качественное изменение