Обобщенные полиномы Лагерра
,
;
– любое число;
.
Набор полиномов образует ортонормированный базис на полуоси .
Используются:
в теории измерительной техники и в теории систем связи;
в квантовой механике описывают радиальное движение электрона в атоме.
Полиномы
исследовал Эдмон Никола Лагерр в 1878 г.
Обобщенные полиномы изучал Николай Яковлевич Сонин в 1880 г., поэтому их называют также полиномами Сонина–Лагерра.
Уравнение Лагерра
(6.41)
является гипергеометрическим уравнением.
Формула Родрига
Методом факторизации ранее получена весовая функция
.
(П.3.9)
Из (П.3.10) при
находим
.
(6.42)
Полиномиальное представление
,
(6.44)
где n – высшая степень полинома .
Доказательство (6.44):
Дифференцирование в (6.42) проводим по формуле Лейбница
.
(6.45)
Например,
при
получаем известную формулу
.
В
(6.45) полагаем
,
и учитываем
.
Соотношение
обобщаем
на случай
– не целое
.
В результате
.
Подставляем в
, (6.42)
получаем полином порядка n
. (6.44)
Из (6.44)
.
(6.47)
Полиномы низших степеней
Из (6.42) и (6.44) получаем:
,
,
,
.
При
:
,
,
,
.
Производящая функция
Методом факторизации ранее получено
.
(6.52)
По определению
(5.14)
с учетом получаем
.
(6.53)
Рекуррентные соотношения
Дифференцируем по x (6.52)
.
Подставляем (6.53)
.
Приравниваем
коэффициенты при
.
(6.54)
2. Дифференцируя далее (6.54), получаем
,
.
(6.55)
В
(6.55) при
,
заменяем
и получаем выражение обобщенного
полинома Лагерра через полином Лагерра
.
(6.56)
3. Из уравнения Лагерра
, (6.41)
используя
,
(6.54)
,
получаем
.
(6.57)
4. Выражение
, (6.52)
дифференцируем по t
.
Подставляем
, (6.53)
получаем
.
Приравниваем коэффициенты при
находим
.
(6.58)
5. Из
(6.52)
следует
.
Подставляем
, (6.53)
получаем
.
Приравниваем коэффициенты при
.
(6.59)
6. Из (6.58) в виде
с учетом (6.59)
,
получаем
.
(6.60)
Заменяем
и
.
(6.61)
7. Из (6.58) в виде
вычитаем (6.61) и получаем
.
(6.64)