Представление в виде полинома
Формулу Родрига
(6.96)
выражаем через полином. Используем бином Ньютона
1. Получаем
,
.
Подстановка в (6.96) дает первую полиномиальную форму
.
(6.98)
Следовательно, n – порядок полинома.
2. Преобразуем
,
используем бином Ньютона
тогда
,
.
Из
(6.96)
находим
.
Замена
дает вторую полиномиальную
форму
.
(6.99)
Из (6.99) находим значения полинома на краях области определения
,
.
(6.100)
Полиномы низших порядков
Из
, (6.96)
(6.98)
находим
,
,
,
,
.
Рекуррентные соотношения
Используем производящую функцию
, (6.101)
. (6.102)
1. Дифференцируем (6.101) по x, получаем
.
Подставляем (6.102)
,
приравниваем
коэффициенты при
,
получаем
.
(6.103)
2. Дифференцируем (6.101) по t
.
Подставляем (6.102)
.
Коэффициенты при t n
,
получаем
.
(6.104)
3. Дифференцируем (6.104)
.
4.
Исключаем
из последнего
соотношения и (6.103)
.
(6.105)
5.
Аналогично исключаем
.
(6.106)
6. В (6.106) заменяем
.
Исключаем с помощью (6.105)
,
(6.107)
7. Складываем (6.106) и (6.105)
.
(6.110)
Разложение функции по полиномам Лежандра
Если определена при , тогда
.
(6.113)
Умножает
(6.113) на
,
результат интегрируем по интервалу
и учитываем
. (6.112)
После замены получаем коэффициент
.
Подставляем
, (6.96)
и интегрируем по частям n раз
.
(6.114)
Соотношение Лежандра
,
(П.6.4)
где
;
– угол между векторами r
и r0.
Используется в теории электромагнитного
поля.
Доказательство:
Учитываем
.
Замена
,
дает
.
Сравниваем с производящей функцией полиномов Лежандра
, (6.101)
. (6.102)
Находим
.
Замена
и
дает
, (П.6.4)
При
заменяем
в (П.6.4)
.
(П.6.4а).
Разложение потенциала диполя по мультиполям
Потенциал в СГС поля диполя в точке A
.
При
разложение
,
(П.6.6)
где
– мультиполя,
Доказательство:
Из рисунка
,
,
тогда
,
.
Используем
,
(П.6.4)
.
Вычитаем друг из друга последние выражения. Четные слагаемые сокращаются, нечетные слагаемые удваиваются, и получаем (П.6.6).
При
главный вклад вносит первое слагаемое,
тогда
,
(П.6.7)
где
;
–
дипольный
момент.