Условие ортонормированности
Методом факторизации ранее получено (П.3.11). Доопределяем и получаем
.
(6.67)
Разложение функции по ортонормированному базису
Функцию
,
определенную при
,
разлагаем по базису
.
(6.68)
Находим
коэффициенты разложения. Умножаем
(6.68) на
,
интегрируем, учитываем (6.67). В сумме
остается лишь одно слагаемое за счет
символа Кронекера. После замены
получаем
.
Подставляем
, (6.42)
интегрируем по частям n раз, находим коэффициент
.
(6.69)
Интегралы с полиномами Лагерра
1. Вычисляем
,
r
– целое.
Подставляем
(6.42)
тогда
.
Интегрируем по частям n раз
,
где учтено
.
Используем определение гамма-функции
,
(4.1)
находим
,
,
(6.70)
,
.
(6.71)
Из
(6.70) при
и
,
(6.72)
.
(6.73)
2. Вычисляем
,
r
– целое.
Подставляем
.
(6.44)
Интегралы сводятся к
,
(6.70)
тогда
=
.
(6.74)
При
,
(6.75)
что дает условие нормировки (6.67).
При
.
(6.76)
3. Вычисляем интеграл, отличающийся от (6.70) знаком перед r:
,
r
– целое,
.
В формуле
(6.70)
заменяем
,
где
:
,
где использовано
.
(4.4)
Тогда из (6.70) после указанной замены
,
.
(6.77)
При и из (6.77) получаем
,
,
(6.79)
.
(6.80)
4. Вычисляем
,
r
– целое.
Для
используем
. (6.44)
Интегралы сводятся к (6.77) в виде
,
тогда
.
(6.81)
При и
,
(6.82)
.
(6.83)
Связанные состояния электрона в АтомЕ водорода Характеристики атома протия
1. Тяжелый протон с зарядом +е. Легкий электрон с массой μ и с зарядом –е. Движение электрона описываем в сферических координатах, в центре – протон.
2. Потенциальная энергия электрона в СГС
,
.
3. Кинетическая энергия радиального движения
,
– радиальный
импульс.
4. Кинетическая энергия углового движения
,
L – орбитальный момент;
– момент
инерции электрона;
– орбитальное
квантовое число.
5. Полная энергия электрона
.
Для
связанного состояния
.
6. Выражаем квадрат радиального импульса
.
Уравнение
Шредингера
для радиальной
части волновой функции
электрона
.
В сферических координатах
,
тогда
.
(6.84)
Упрощаем уравнение
Вводим боровский радиус
.
Заменяем
– безразмерная величина:
,
тогда
.
Будет
доказано, что n
квантуется –
,
тогда получаем дискретный спектр
– основное
состояние,
,
.
Исходное уравнение
(6.84)
получает вид
,
.
Переходим к безразмерной x
,
,
,
.
Уравнение
умножаем на
и получаем
,
(6.85)
,
.