3. Методы решения линейных дифференциальных уравнений

3.1. Классический метод

Классическим оператором преобразования, связывающим входной и выходной сигналы линейной системы, является линейное ДУ с постоянными коэффициентами (рис.3.1).

Переменная, стоящая в правой части уравнения, является входным воздействием, а в левой – выходной величиной.

В общем случае линейное неоднородное ДУ записывается в виде

. (3.1)

Из теории ДУ известно, что интегрирование уравнения (3.1), т.е. определениеy(t) при заданномx(t), сводится к нахождению общего интеграла однородного ДУ (без правой части) и частного решения неоднородного ДУ (с правой частью). Тогда общее решение неоднородного ДУ

,

где – общее решение однородного ДУ, характеризует свободное движение системы (без внешних воздействий);– частное решение неоднородного ДУ, характеризует вынужденное движение системы.

Общее решение однородного ДУ обычно отыскивается в виде экспоненты

. (3.2)

Взяв от (3.2) производные и подставив в (3.1), получим

,

или, сократив на e^–pt, имеем

. (3.3)

Уравнение (3.3) является характеристическим уравнением ДУ (3.1), имеющим nкорней и, следовательно,nнезависимых решений. Известно, что если имеетсяnнезависимых решений уравнения, то их сумма также является решением этого уравнения, т.е.

,

где p_i– корни характеристического уравнения;C_i– постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Частное решение неоднородного ДУ обычно отыскивается в том же виде, в каком дана правая часть, т.е. зависит от вида функции x(t) на входе.

В реальных системах входной сигнал чаще всего бывает случайной функцией времени. Поэтому, чтобы сопоставить переходные процессы в различных системах, рассматривают динамику систем при так называемых типовых входных воздействиях, в качестве которых чаще всего применяются единичные ступенчатая и импульсная функции.

Единичная ступенчатая функция(рис.3.2, а) описывает мгновенное изменение входного сигнала и обозначается,

Единичная импульсная функция(рис.3.2, б) описывается выражением

.

Очевидно, что функции 1(t) и(t) связаны между собой соотношением. При подаче на вход системы типового входного воздействия видаиливыходная величина системы будет изменяться во времени тем или иным образом. Это изменение и является реакцией системы на определенное воздействие.

Если и начальные условия нулевые, то реакция системы называетсяпереходной функциейилипереходной характеристикой.

Если и начальные условия нулевые, то реакция системы называетсяимпульсной переходной характеристикойилифункцией веса.

Функции иназываютсявременными характеристикамисистемы иликривыми разгона, и для линейных звеньев связаны соотношением

.

 ➢  Пример 2. Пусть система управления описывается ДУ первого порядка

,

Найти временные характеристики системы.

Характеристическое уравнение имеет корень. Общее решение однородного ДУ имеет вид. Предположим, что, тогда частное решение ДУ. Подставив его в ДУ, получимC₂ = k. Тогда общее решение неоднородного ДУ.

Из начальных условийy(0) = 0 находим постоянную интегрированияC₁: 0 == C₁ + k, откудаC₁ = –k. Тогдаи(рис.3.3).

➢   Пример 3. Если на вход системы (пример 2) подается линейно изменяющийся сигнал (рис.3.4, а), имеем

,

при этом ;.

Подставивy₂(t) в ДУ, получимC₂T + C₂t + C₃ = kt, откуда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменнойt, имеемC₂ = k,C₂T + C₃ = 0, и, следовательно,C₃ = –kT. Тогда общее решение неоднородного ДУ (рис.3.4, б)

.

При начальных условиях y(0) = 0 найдемC₁ = Tk. Окончательно получим

.