1. Неопределенный интеграл

Определение. Функция называется первообразной для функции , если или .

Если функция имеет первообразную , то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении , где - произвольная постоянная.

Определение. Неопределенным интегралом от функции (или от выражения ) называется совокупность всех её первообразных.

Обозначается неопределенный интеграл:

Здесь - знак интеграла;

- подынтегральная функция;

- подынтегральное выражение;

- переменная интегрирования.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Свойства неопределенного интеграла

(правила интегрирования)

;

;

;

( - постоянная);

Если и , то

Таблица основных интегралов

;

при ;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Для справки:

;

§ 1. Непосредственное интегрирование

Этот метод применяется в тех случаях, когда используются непосредственно табличные интегралы: либо после алгебраических преобразований, либо после применения известных формул сокращенного умножения, либо при использовании тригонометрических преобразований подынтегрального выражения. Поэтому уместно привести некоторые из перечисленных преобразований:

Формулы сокращенного умножения

;

;

_.

Некоторые тригонометрические преобразования

;

;

;

;

;

;

;

Действия со степенями

;	;	;
;	.

Пример.

Найти указанные интегралы. В первых двух задачах результаты проверить дифференцированием

1. 

Преобразуем подынтегральное выражение, т.е. сначала разделим числитель почленно на знаменатель, а затем применим свойство степеней:

Теперь используя свойства неопределенного интеграла, получим

Это явно табличные интегралы, которые представлены формулами 2) и 3), следовательно

,

после несложных преобразований получим окончательно

.

Проверим данный результат дифференцированием

,

т.е. интегрирование проведено правильно.

2. 

Используя формулу возведения в квадрат, получим

,

опять используя свойства интеграла, запишем

Проверим результат дифференцированием

интегрирование проведено правильно.

3. 

Перемножим многочлены

.

Согласно свойствам неопределенного интеграла, получим

.

4. 

.

5. 

.

6. 

7. .

Задание 1

Найти неопределенные интегралы, применив непосредственное интегрирование. Результат первого интеграла проверить дифференцированием.

Вариант 1.

;	;
;	;
;	.

Вариант 2.

;	;
;	;
;	.

Вариант 3.

;	;
;	;
;	.

Вариант 4.

;	;
;	;
;	.

Вариант 5.

;	;
;	;
;	.

Вариант 6.

;	;
;	;
;	.

Вариант 7.

;	;
;	;
;	.

Вариант 8.

;	;
;	;
;	.

Вариант 9.

;	;
;	;
;	.

Вариант 10.

;	;
;	;
;	.

Вариант 11.

;	;
;	;
;	.

Вариант 12.

;	;
;	;
;	.

Вариант 13.

;	;
;	;
;	.

Вариант 14.

;	;
;	;
;	.

Вариант 15.

;	;
;	;
;	.

Вариант 16.

;	;
;	;
;	.

Вариант 17.

;	;
;	;
;	.

Вариант 18.

;	;
;	;
;	.

Вариант 19.

;	;
;	;
;	.

Вариант 20.

;	;
;	;
;	.

Вариант 21.

;	;
;	;
;	.

Вариант 22.

;	;
;	;
;	.

Вариант 23.

;	;
;	;
;	.

Вариант 24.

;	;
;	;
;	.

Вариант 25.

;	;
;	;
;	.

Вариант 26.

;	;
;	;
;	.

Вариант 27.

;	;
;	;
	.

Вариант 28

;	;
;	;
	.

Вариант 29

;	;
;	;
	.

Вариант 30.

;	;
;	;
	.