§4. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен

Рассмотрим интегралы или . В знаменателе находится квадратный трёхчлен, с отрицательным дискриминантом, который не имеет корней и на множителе не раскладывается.

Такие интегралы с помощью выделения полного квадрата приводятся к табличным интеграла вида: , , .

Пример.

Найти интеграл .

Решение: Найдём дискриминант знаменателя

D=9-4*2*4=-23<0 – следовательно действительных корней нет.

Вынесем 2 за знак интеграла, получим

.

Выделим полный квадрат

- + =

Это табличный интеграл вида = ∙arctg + c

u = x + ; du=dx

И согласно формуле (16)

I = ( ∙ arctg )+С.

Ответ: arctg + С.

Теперь рассмотрим интегралы вида

В числителе появился многочлен первой степени, который не является производной знаменателя, а знаменатель по прежнему имеет отрицательный дискриминант.

Вычисление интегралов такого вида рассмотрим на примере.

Пример.

Найти интеграл dx

Примем весь квадратный трёхчлен за новую переменную

. Найдём du=(4x+3)dx.

, необходимо, чтобы du=(4x+3)dx. Но в задании числитель (3x+5), выделим из (3x+5)→ (4x+3) следующим образом

(3x+5)= (4x+3) - +5= (4x+3) + , т.е. числитель получился состоящим из суммы, которую распишем на два интеграла

I = dx+ = +

Тогда I = + +c.

Задание 4

Найти интегралы.

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10
Вариант 11	Вариант 12
Вариант 13	Вариант 14
Вариант 15	Вариант 16
Вариант 17	Вариант 18
Вариант 19	Вариант 20
Вариант 21	Вариант 22
Вариант 23	Вариант 24
Вариант 25	Вариант 26
Вариант 27	Вариант 28
Вариант 29	Вариант 30