§5. Интегрирование рациональных функций с помощью разложения на простейшие дроби. (Метод неопределённых коэффициентов)

Перед интегрированием рациональной дроби нужно сделать следующее алгебраические преобразования:

1. Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из неё целую часть, т.е.представить в виде:

, где М(x) – многочлен, а – правильная рациональная дробь.

2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители (если это возможно).

3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби с неизвестными коэффициентами А, В, С,… это разложение записывается в зависимости от знаменателя дроби (если знаменатель дроби имеет различные линейные множители):

а) = …;

б) ;

в) ;

г) .

4) Вычислить неопределённые коэффициенты А, В, С,… (Вычисление рассмотрим на конкретных примерах).

В результате интегрирование рациональной дроби сведётся к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

Пример.

Найти интеграл

.

Решение: Рассмотрим подынтегральную функцию.

1. Так как степень числителя больше степени знаменателя, т.е. дробь неправильная, то выделим из неё целую часть.

−

−

Итак получим ;

2) Разложим знаменатель оставшейся правильной дроби на множители, для этого найдём корни; в данном случае воспользуемся методом подбора корней: Например х₁=1

=1-7+6=0

Значит х₁=1 является одним из корней, а (х-1) один из множителей знаменателя. Выполним деление и получим степень знаменателя

−

−

−

0

Оставшийся квадратный трёхчлен имеет корни х₂=2; и х₃=-3; т.е. отсюда получим

.

и различны (случай (а))

Представим теперь дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами

И рассмотрим один из способов нахождения неопределённых коэффициентов как раз удобный для случая, когда знаменатель имеет неповторяющиеся множители первой степени.

Итак приведём правую часть к общему знаменателю

Т.к. знаменатели левой и правой частей равны, то приравняем числители

Далее будем подставлять значения х в получившееся уравнение, желательно, чтобы это были значения, являющиеся действительными корнями знаменателя при х=1 (можно найти А)

15∙1+12∙1= А(1 2)∙(1+3)+В∙0+С∙0;

27=А∙( 1) ∙4

4∙А=27 А=

При х = 3 (можно найти С)

15∙9+12∙( 3)=А∙0+В∙0+С∙( 3 1) ( 3 2);

135 36=( 4)∙( 5)∙С

99=20С

С=

При х=2 (найдём В)

15∙4+12∙2= А∙0+В(2 1)(2+3)+ С∙0

84= 5В∙1

В= .

Подставим найденные коэффициенты и вычислим интеграл:

+

Пример. Найти интеграл

Решение: Так как подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, то целую часть выделять не будем.

Знаменатель дроби на множители больше не раскладывается, т.к. квадратный трёхчлен - не имеет действительных корней (случай (в)). Приступаем к разложению подынтегральной дроби на сумму простейших дробей с неопределёнными коэффициентами:

В этот раз применим другой способ нахождения неопределённых коэффициентов. Также приведём правую часть к общему знаменателю

Т.к. знаменатели равны, то приравняем числители

Раскроем скобки, получим

.

Теперь сгруппируем в правой части члены с одинаковыми степенями и вынесем их за скобки, .

Будем приравнивать коэффициенты левой и правой частей при одинаковых степенях х, т.е. получим систему

А+В=1,

4А+2В+С= 3,

5А+2С=2.

из первого уравнения В=1 А;

из третьего С= ;

подставим во второе уравнение 4А+2 2А+ найдём А

2А+

4А+2-5А= 10

А= 12 А=12.

Тогда В=1 12= 11 В= 11,

С = ,

С= 29.

Подставим в подынтегральное выражение и вычислим интегралы

+ dx = 12 ln - dx.

Найдём второй интеграл

u= ;

du=(2x 4)dx;

11x+29= ;

dx=

=

Окончательно

I = 12 ln

Пример.

Найти интеграл dx.

Решение: Дробь правильная, значит целую часть выделять не будем.

Разложим знаменатель на множители,

Значит подынтегральное выражение примет вид:

(случай (б)). Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами

.

Здесь можно применить комбинированный способ. Сначала найдём А при х=2

x 5= ;

2 5= A ;

; А = .

При х= 2 получим

;

7= 4∙C; C =

Зная А и С будем определять В следующим образом:

х 5= ,

подставим х=0

5= ,

5=

4В=

4В= В =

Найдём интеграл:

dx = + +

+ .

Задание 5

Найти интегралы.

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10
Вариант 11	Вариант 12
Вариант 13	Вариант 14
Вариант 15	Вариант 16
Вариант 17	Вариант 18
Вариант 19	Вариант 20
Вариант 21	Вариант 22
Вариант 23	Вариант 24 dx
Вариант 25 dx	Вариант 26 dx
Вариант 27 dx	Вариант 28 dx
Вариант 29 dx	Вариант 30 dx