Средняя геометрическая: , , (6.14)

где – число значений признака;

–знак перемножения;120000

–варианта признака.

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака в исследуемой совокупности.

Медианой называется такое значение признака, которое стоит в середине ряда вариант расположенных по порядку возрастания или убывания (ранжированный ряд). Медиана делит ранжированный ряд пополам, в результате чего у половины единиц совокупности значение признака меньше медианы, а у половины больше медианы.

Мода в дискретном вариационном ряду определяется частотой появления той или иной величины варианты, варианта с наибольшей частотой – мода.

Мода в вариационном интервальном ряду рассчитывается по формуле:

, (6.15)

где  минимальная граница модального интервала;

величина модального интервала;

частота интервала предшествующая модальному интервалу;

частота следующего за модальным интервалом;

частота модального интервала.

Модальный интервал  это интервал, содержащий моду (имеющий наибольшую частоту).

Медиана в дискретном вариационном ряду рассчитывается в зависимости от того, четное или нечетное количество элементов содержит ряд.

При нечетном количестве единиц определяется номер варианты, которому соответствует медиана:

, (6.16)

При четном количестве единиц:

, (6.17)

Медиана в интервальном вариационном ряду рассчитывается по формуле:

, (6.18)

где  начальное значение медианного интервала;

величина медианного интервала;

сумма частот ряда;

сумма накопленных частот, всех интервалов, предшествующих медианному;

–частота медианного интервала.

Медианный интервал это интервал, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот.

Квартиль делит ряд на четыре одинаковые части. Второй квартиль равен медиане. Расчет первого и третьегоосуществляется по формулам:

, (6.19)

Вместо медианного интервала при расчете берется интервал, в котором находится варианта, отсекающая ¼ численности частот:

, (6.20)

Вместо медианного интервала при расчете берется интервал, в котором находится варианта, отсекающая ¾ численности частот.

Дециль делит ранжированный ряд на 10 равных частей.

Показатели вариации

Вариация – это изменение величины признака у элементов изучаемой совокупности.

Меры вариации – это меры, с помощью которых в статистике измеряют изменчивость величины изучаемого признака единиц совокупности.

Меры вариации должны соответствовать определенным условиям, для того чтобы отражать лишь изменение вариации:

1. Значение меры вариации должно быть небольшим в том случае, если элементы исследуемого ряда не имеют больших различий, и, наоборот, значение меры вариации должно быть большим, если элементы ряда имеют существенные отличия друг от друга.

2. Значение меры вариации не должно зависеть от числа элементов ряда, то есть от численности исследуемой совокупности.

3. Значение меры вариации не должно зависеть от значения средней, то есть величина средней не должна оказывать влияние на меру вариации.

4. Мера вариации должна быть выражена одним числом.

Размах вариации – разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:

, (6.21)

Средний модуль отклонений:

, (6.22)

Общая сумма квадратов отклонений единиц совокупности от средней величины:

, (6.23)

Средний квадрат отклонений (дисперсия) показывает, на сколько в среднем квадратов отклонений каждый элемент совокупности отличается от среднего значения.

–простая дисперсия, (6.25)

–взвешенная дисперсия, (6.26)

Также используют следующие формулы расчета дисперсии:

, (6.27)

, (6.28)

, (6.29)

, (6.30)

Среднее квадратическое отклонение, или стандартное отклонение, показывает, на сколько единиц в среднем каждый элемент совокупности отличается от среднего значения.

–простое, (6.31)

–взвешенное, (6.32)

Коэффициент вариации:

, или , (6.33)