Основные свойства дисперсии

1. Если из каждого значения варианты отнять (прибавить) одно и то же постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится:

, (6.34)

Отсюда следует, что дисперсию можно рассчитать не только по заданным вариантам, но и по отклонениям этих вариант от какого-то постоянного числа:

, (6.35)

2. Если каждое значение вариант разделить или умножить на одно и то же постоянное число А, то дисперсия уменьшится (увеличится) от этого в А² раз, а стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) – в А раз:

, (6.36)

Отсюда следует, что все варианты можно разделить на какое-то одно и то же постоянное число (например, интервал ряда), рассчитать среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на это постоянное число:

, (6.37)

3. Средний квадрат отклонений, рассчитанный от средней величины, всегда будет меньше среднего квадрата отклонений, рассчитанного от любой другой величины А (свойство минимизации): , причем больше на квадрат разности между среднейи этой величинойА, т.е. на . Данное правило можно записать как:

или (6.38)

Показатели вариации альтернативного признака

Альтернативный признак – это качественный (атрибутивный) признак, который показывает наличие или отсутствие данного признака у единицы совокупности (да или нет).

Среднее значение альтернативного признака:

, (6.39)

где – доля единиц совокупности, обладающая альтернативным признаком;

–доля единиц совокупности, не обладающая альтернативным признаком, а .

Дисперсия альтернативного признака:

, (6.40)

Показатели вариации для сгруппированных признаков

Общая дисперсия показывает величину вариации во всей совокупности, сложившуюся под влиянием всех факторов:

–простая, (6.41)

–взвешенная, (6.42)

Внутригрупповая (случайная) дисперсия показывает величину вариации внутри групп, на которые разбита совокупность, обусловленная случайными причинами:

–простая, (6.43)

–взвешенная, (6.44)

где – групповая средняя.

По всем группам рассчитывают среднюю внутригрупповую дисперсию :

–простая, (6.45)

–взвешенная, (6.46)

где – общая численность по всем группам;

Межгрупповая (систематическая) дисперсия показывает величину вариации групповых средних относительно общей средней, обусловлена систематическими причинами.

–простая, (6.47)

–взвешенная, (6.48)

где – число групп.

Все три вида дисперсии связанны Законом сложения дисперсий – общая дисперсия всегда равна сумме средней внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

, (6.49)

Для характеристики влияния группировочного признака на общую вариацию рассчитывают корреляционное отношение :

, (6.50)

Чем больше корреляционное отношение, тем больше фактор, положенный в основание группировки, оказывает влияние на общую вариацию.