1.4.3. Закон сохранения механической энергии

Полная механическая энергия замкнутой системы в отсутствии внешних воздействий остается величиной постоянной

W=W_k+W_p=сonst,

где W_p=W_pi – потенциальная энергия системы;

W_k=M_ki – кинетическая энергия системы.

1.4. Примеры решения задач

1.4.1. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20г поднялась на высоту 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Массой пружины пренебречь.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии в механике. Но прежде проследим за энергетическими превращениями, с которыми связан выстрел.

При зарядке пистолета сжимается пружина. При этом совершается работа A₁, в результате чего пружина приобретает потенциальную энергию W_p1. При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию W_2 пули, затем при подъеме ее на высоту h превращается в потенциальную энергию W_p2 пули.

Если пренебречь потерями энергии в этой цепочке энергетических превращений, то на основании закона сохранения энергии можно записать

А=W_p2.

Выразим работу А₁. Сила F₁, сжимающая пружину, является переменной. В каждый данный момент времени она по направлению противоположна силе упругости F и численно равна ей. Сила упругости, возникающая в пружине при ее деформации, определяется по закону Гука:

F=-kx,

где x – абсолютная деформация пружины.

Работу переменной силы вычислим как сумму элементарных работ. Элементарная работа при сжатии пружины на dx выразится формулой

dA₁=F₁dx, или dA₁=kxdx.

Интегрируя в пределах от 0 до s, получим

.

Потенциальная энергия пули на высоте h определяется по формуле

W₂=mgh,

где g – ускорение свободного падения.

Таким образом, имеем

ks²/2=mgh.

Откуда

k=2mgh/s².

Теперь можем подставить числовые значения и произвести вычисления

k=20,029,815/0,01=196 Н/м=0,2 (кН/м).

Ответ: k=0,2 кН/м.

1.4.2. На спокойной воде пруда стоит лодка, длиной L и массой M, перпендикулярно берегу, обращенная к нему носом. На корме стоит человек массой m. На какое расстояние s удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду и о воздух пренебречь.

Решение. Для простоты решения будем считать, что человек идет по лодке с постоянной скоростью. Лодка в этом случае также будет двигаться равномерно. Поэтому путь s, пройденный лодкой относительно берега, определим по формуле:

s=vt,

где v – скорость лодки относительно берега;

t – время движения лодки.

Скорость v лодки найдем, пользуясь законом сохранения импульса (количества движения). Так как по условию задачи система «человек-лодка» изолированная и в начальный момент относительно берега была в покое, то по закону сохранения импульса, опустив знак минус, получим:

Mv=mu,

где u – скорость человека относительно берега.

Отсюда

v=mu/M.

Время t движения лодки равно времени перемещения человека по лодке, т.е.

t=s/u=(L-s)/u,

где s – путь, пройденный человеком относительно берега.

Подставив полученные выражения v и t, найдем

s=mu(L-s)/(M u)=m(L-s)/M,

откуда

s=mL/(m+M).

1.4.3. Шар массой m₁, движущийся горизонтально с некоторой скоростью V₁, столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

=W_k2/W_k1=m₂u₂²/m₁v₁²,

где W_k1 – кинетическая энергия первого шара до удара;

v₁ – скорость первого шара до удара;

W_k2 – кинетическая энергия второго шара после удара;

u₂ – скорость второго шара после удара.

Как видно, для определения  надо найти u₂. При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии в механике. Пользуясь этими законами, найдем u₂.

По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, имеем:

m₁v₁=m₁u₁+m₂u₂.

По закону сохранения энергии

m₁v₁²/2=m₁u₁²/2+m₂u₂²/2.

Решая совместно данные уравнения, найдем

u₂=2m₁v₁/(m₁+m₂).

Подставив это выражение в формулу для определения доли  энергии, сократив на v₁ и m ₁, получим

=4m₁m₂/(m₁+m₂)².

Как видно из полученного соотношения, доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменяются местами.

1.4.4. Маховик, выполненный в виде диска радиусом 0,4 м и имеющий массу 100 кг, раскручен до скорости вращения 480 об/мин и предоставлен самому себе. Под действием трения вала о подшипники он до полной остановки сделал 240 оборотов. Определить момент сил трения вала о подшипники.

Решение. Так как в условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до полной остановки, то воспользуемся уравнением, выражающим связь между работой и изменением кинетической энергии, для вращательного движения:

А=W_k,

где А=М – работа сил трения;

W=I(₂²-₁²)/2 – изменение кинетической энергии;

 – угол поворота ;

I=mR²/2 – момент инерции маховика относительно данной оси вращения;

₁ и ₂ – конечная и начальная угловые скорости маховика, при этом ₂ =0.

Имеем

M₂=I(₂²-₁²)/2,

M=I(₂²-₁²)/2=mR²/2(0-(2)²)/(22N)=-mR²²/(2N).

Размерность полученного результата очевидна. Подставим в полученное для M выражение числовые значения входящих величин и произведем вычисления:

M=8(0-50²)/(21507)=- 6,64 (Нм).

Знак «минус» означает, что на маховик действительно действуют силы трения.

1.4.5. Ящик массой m₁ =20 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной ℓ=2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m₂=80кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость u тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом =30^o к рельсам.

Решение. Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел. Но эта система не замкнута, так как сумма внешних сил, действующих на систему: двух сил тяжести m₁g и m₂g и силы реакции N₂, не равна нулю. Поэтому применить закон сохранения импульса к системе «ящик-тележка» нельзя.

Но так как проекция суммы указанных сил на направление оси x, совпадающей с направлением рельсов, равна нулю, то составляющую импульса системы в этом направлении можно считать постоянной, т.е.

p_1x+p_2x=p_1x+p_2x,

где p_1x и p_2x – проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку;

p_1xи p _2x – те же величины после падения ящика.

Выразим в вышезаписанном равенстве импульсы тел через их массы и скорости, учтя при этом, что p_2x=0 (тележка до взаимодействия с ящиком покосилась), а также что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью u:

m₁ v_1x=(m₁+m₂)u, или m₁v₁ cos=(m₁+m₂)u,

где v₁ – скорость ящика перед падением на тележку;

v_1x=v₁ cos – проекция этой скорости на ось x.

Отсюда выразим искомую скорость:

u=m₁v₁ cos/(m₁+m₂).

Скорость v₁ ящика перед падением определим из закона сохранения энергии

m₁gh=m₁v₁²/2,

где h=ℓ sin.

После сокращения на m₁ найдем

.

Подставив найденное выражение для v₁ в формулу для u, получим

.

Предварительно проверив размерность полученного результата, подставим числовые значения и произведем вычисления:

м/с.

Ответ: u=0,767 м/с.

1.4.6. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m₁=180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n=10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой m₂=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, равен нулю. При этом условии момент импульса L_z системы «платформа-человек» остается постоянным:

L_z=I_z=const,

где I_z – момент инерции платформы с человеком относительно оси z;

 – угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому

I_z=I₁+I₂,

где I₁ – момент инерции платформы;

I₂ – момент инерции человека.

С учетом этого имеем

(I₁+I₂)=const, или (I₁+I₂)=(I₁+I₂),

где нештрихованные значения величин относятся к начальному состоянию системы, штрихованные – к конечному состоянию.

Момент инерции платформы (сплошного диска) относительно оси z при переходе человека не изменятся:

I₁=I₁=m₁R²/2.

Момент инерции человека будет изменяться. Если человека рассматривать как материальную точку, то его момент инерции I_z в начальном положении (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном положении (на краю платформы) момент инерции человека

I₂=m₂R².

Подставим в формулу закон сохранения найденные выражения моментов инерции, также начальную угловую скорость вращения платформы с человеком, выраженную через частоту вращения n (=2n) и конечную углбовую скорость, выраженную через линейную скорость v человека относительно пола (=v/R):

(m₁R²/2+0)2n=(m₁R²/2+m₂R²)v/R.

После простых преобразований находим интересующую нас скорость:

v=2nRm₁/(m₁+2m₂).

Проверив размерность полученного результата, подставим числовые значения физических величин в системе CИ, произведем вычисления:

v=23,141,5180/(6(180+260))=1 (м/с).

Ответ: v=1 м/с.

1.4.7.Частица массой m=0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом T=2с. Полная энергия колеблющейся частицы W=0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F, действующей на частицу.

Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы

W=kA²/2,

где k=m² – коэффициент квазиупругой силы;

=2/T – круговая или циклическая частота.

Подставив значения k и  в формулу полной энергии, выразим амплтуду

.

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением

F=-kx,

где x – смещение колеблющейся точки.

Максимальное значение сил приобретает при максимальном смещении, равном аплитуде, т.е.

F_max=kА.

Коэффициент k выразим через период колебаний:

k=m²=4²m/T².

Подставив в уравнение для максимальной силы значения k и А, после сокращений и упрощений, получим

.

Проверив размерность полученных результатов, подставим числовые значения величин, произведем вычисления:

А=2/23,14(210^-4/10^-2)^1/2=0,045 (м),

F_max=23,14/2(210^-210^-4)^1/2=4,4410^-3 (Н).

Ответ: А=45 мм; F_max=4,44 мН.

1.4.8. Через блок, выполненный в виде диска и имеющий массу m=80г, перекинута тонкая, гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m₁=100 г и m₂=200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.

Решение. Применим к решению задачи закон сохранения энергии, согласно которому при отсутствии трения полная энергия изолированной системы остается неизменной. Энергия при этом может превращаться только из потенциальной в кинетическую, и наоборот. Напомним, что в механике полной энергией тела называется сумма его потенциальной и кинетической энергий.

Предположим, что в начальный момент движения потенциальная энергия первого груза была равна W_p1, второго – W_p2. Через некоторое время высота первого груза увеличилась на h, второго уменьшилась на h. Потенциальная энергия первого груза стала равна

W₁=W_p1+m₁gh,

второго –

W₂=W_p2-m₂gh.

Кроме того, каждый из грузов, двигаясь с ускорением a, приобрел за это время скорость v и кинетическую энергию, равную соответственно

W_k1=m₁v²/2 и W_2k=m₂v²/2.

Точно так же диск, вращаясь равноускоренно, приобрел угловую скорость и соответствующую ей кинетическую энергию

W_k=I²/2,

где I=mr²/2 – момент инерции диска;

=v/r – угловая скорость.

Тогда для кинетической энергии диска, после соответствующих преобразований, будем иметь

W_k=mv²/4.