1.Физические основы классической механики

1. Кинематика. Основные формулы и определения

Положение материальной точки, тела, системы в трехмерной прямоугольной системе координат определяется координатами X,Y,Z или радиусом – вектором r.

При этом

X=r_x, Y=r_y, Z=r_z.

Кинематические уравнения материальной точки или центра масс твердого тела :

X=r_x=f₁ (t); Y=r_y=f₂ (t); Z=r_z=f₃ (t),

где f₁(t), f₂(t), f₃(t) – некоторые функции времени.

Перемещение – вектор, проведенный из начального положения материальной точки в конечное и равный приращению радиус-вектора

r=r₂-r₁.

Mгновенная линейная скорость – векторная физическая величина, характеризующая состояние движения, показывающая, как изменяется перемещение в единицу времени, численно равная первой производной от перемещения по времени:

.

Проекции мгновенной скорости на оси координат X,Y,Z:

Cредняя путевая скорость

,

где S – путь, пройденный точкой за интервал времени t. Путь S в отличие от разности координат x=x₂ – x₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. S.

Ускорение – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по численному значению и по напрвлению, равная первой производной от скорости по времени или второй производной от перемещения по времени:

.

Проекции ускорения на оси X, Y, Z:

; ; .

Модуль ускорения

а= .

Тангенциальное (касательное) ускорение – проекция ускорения на направление, касательное к траектории движения – a_t. Оно характеризует изменение модуля скорости и численно равно

_,

где v – численное значение скорости.

Нормальное (центростремительное) ускорение – проекция ускорения на положительную нормль к траектории движения – a_n. Оно характеризует изменение направления скорости и численно равно:

,

где R – радиус кривизны траектории в соответствующей ее точке.

Численное значение полного ускорения

.

Вращательное движение твердого тела характеризуется углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением.

Угол поворота – угол между проведенными через ось вращения неподвижной полуплоскостью и полуплоскостью, жестко связанной с телом и вращающейся вместе с ним. Угол поворота – псевдовектор – вектор, численно равный углу между двумя положениями радиус R, направленный вдоль оси вращения и связанный с направлением вращения правилом векторного произведения (правилом правого винта).

Угловая скорость – векторная физическая величина, характеризующая быстроту вращения тела относительно оси вращения, показывающая, как изменяется угол поворота в единицу времени, равная первой производной от угла поворота по времени:

.

При равномерном вращении тела относительно неподвижной оси его угловая скорость численно равна

,

где  – приращение угла поворота за промежуток времени t.

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда поворот тела виден происходящим против часовой стрелки (либо по правилу правого винта) в правосторонней системе координат.

Угловое ускорение – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твердого тела.

При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси угловое ускорение численно равно

,

где – приращение угловой скорости за промежуток времени t.

В общем случае угловое ускорение – первая производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени:

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в ту же сторону, что и угловая скорость при ускоренном вращении, и противоположно – при замедленном.

Между линейными и угловыми скоростями и ускорениями существует связь

v=r]; a=[r]+[v]; a_t=[r]; a_n=[v];

a_t=r; a_n=²r=v²/r.

При равномерном вращении модуль угловой скорости неизменен:

=/t=2N/t=2/T; v=2r/T=r.

Гармонические колебания – периодически повторяющиеся за равные промежутки времени движения, при которых удаление точки от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса:

x=x_o sin(t+_o),

где x – смещение, удаление точки от положения равновесия в данный момент времени;

x₀ – амплитуда колебаний, наибольшее удаление точки от положения равновесия;

(₀t+₀) – фаза колебаний, периодически изменяющийся аргумент функции, описывающей колебательный или волновой процесс;

₀ – начальная фаза колуебаний;

 – круговая или циклическая частота, =2/T=2;

T – период колебаний, время, за которое совершается одно полное колебание;

 – частота колебаний. Это число колебаний в единицу времени.

Скорость материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение:

.

Ускорение материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение:

Знак «минус» означает, что ускорение материальной точки при гармонических колебаниях направлено в сторону, противоположную смещению.

При сложении колебаний одного направления тело или материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях:

и

Cмещение результирующего колебания можно определить по формуле:

,

где x_o= – амплитуда результирующего колебания.