1.2.3. Динамика колебательного движения

1.2.3.1. Динамика гармонических колебаний

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

.

Решением дифференциального уравнения гармонических колебаний является выражение вида

x=x₀ sin(₀t+₀),

где k=m₀² – коэффициент возвращающей силы;

x – смещение материальной точки;

x_o – амплитуда колебаний;

_o=2/Т=2 – круговая (циклическая частота);

=1/T – частота колебаний;

T – период колебаний;

=(₀t+₀) – фаза колебаний;

₀ – начальная фаза колебаний.

Математический маятник – тело массой m, размерами которого можно пренебречь, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити.

Период колебаний математического маятника

T=2 ,

где ℓ – длина математического маятника.

Физический маятник – твердое тело, способное совершать колебательное движение относительно оси, на которой оно подвешено. При этом ось не проходит через центр масс.

Период колебаний физического маятника

T=2 ,

где L=I/md – приведенная длина физического маятника – длина такого математического маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника;

I – момент инерции физического маятника относительно оси колебаний;

m – масса физического маятника;

d – расстояние между осью колебаний и центром масс.

Упругие колебания совершаются под действием упругих сил

F=-kℓ,

где k=m_o² – коэффициент жесткости;

ℓ – относительное удлинение.

Период колебаний пружинного маятника

T=2 .

Крутильные колебания – колебания, совершающиеся под действием закручивающего момента, пропорционального углу закручивания (колебания диска, подвешенного на стальной нити):

M=-D,

где D=r³G/2ℓ – коэффициент крутильной жесткости;

G – модуль сдвига;

r – радиус нити;

ℓ – длина нити.

Период колебаний крутильного маятника

T=2 ,

где I_z – момент инерции тела относительно оси колебаний.

1.2.3.2. Динамика затухающих колебаний

Затухающие (свободные) колебания – колебания реальной системы, энергия которой, потерянная в процессе колебаний, не восполняется за счет внешних воздействий.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

.

Решение этого уравнения:

x=x₀ e^-tsin(₀t+₀),

где r – коэффициент сопротивления;

=r/2m – коэффициент затухания;

=(₀²-²)^1/2 – частота затухающих колебаний;

₀ – частота собственных колебаний системы – частота, с которой совершались бы колебания системы при отсутствии сил трения, сопротивления среды, т.е. при r=0;

A=x₀ e^-t – амплитуда затухающих колебаний;

T=2/(₀²-²)^1/2 – период затухающих колебаний.

Декремент колебаний – отношение двух смещений, отличающихся по времени на период:

D=x₁/x₂=e^T.

Логарифмический декремент затухания

lnD=T.

Добротность колебательной системы

Q=/=N_e,

где N_e – число колебаний, за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в "е" раз.

1.2.3.3. Динамика вынужденных колебаний

Вынужденные колебания – такие колебания, которые совершаются системой под действием вынуждающей силы, изменяющейся по какому-либо закону (например, по гармоническому).

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

,

где f=F₀ sint – вынуждающая сила ;

 – частота вынуждающей силы.

Решение этого уравнения:

x=x_oe^-tsin(₀t+₀)+x₀sin(t+).

Частота вынужденных колебаний

=(₀²-²)^1/2.

Амплитуда вынужденных колебаний

x₀=f₀/((₀² – ²)²+4²²)^1/2.

При некотором значении частоты вынужденных колебаний _p==(₀²-2²)^1/2 (резонансной частоте) амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний называют резонансом.