Знаки (+) и (–) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в определитель (4).
ПРИМЕР:
|
|
1 |
−4 |
2 |
|
=1 3 5 +( −4 ) ( −1) ( −2 ) +2 0 1− −2 3 ( −2 ) −1 ( −1) 1−( −4 ) 0 5 = 20 . |
||
|
|
|||||||
Α |
|
= |
|
0 |
3 |
−1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−2 |
1 |
5 |
|
|
1.3. Свойства определителей
Свойство 1 . Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании: AT = A .
Свойство 2. При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак:
a11 |
a12 |
a13 |
|
(α1 ) |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
(α2 ) |
|
|
|
||||||||
a21 |
a22 |
a23 |
|
(α2 )= − |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
(α1 ) |
a31 |
a32 |
a33 |
|
(α3 ) |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
(α3 ) . |
|
|
|
Свойство 3 . Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
Свойство 4. Общий множитель для элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| можно вынести за знак определителя:
k a1 1 |
a1 2 |
a13 |
|
|
|
a1 1 |
a1 2 |
a13 |
|
|
|
|
|||||||
k a 2 1 |
a 2 2 |
a 2 3 |
|
= k |
|
a 2 1 |
a 2 2 |
a 2 3 |
, k = co nst |
k a3 1 |
a3 2 |
a3 3 |
|
|
|
a3 1 |
a3 2 |
a3 3 |
|
Это свойство можно сформулировать иначе: умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число.
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю:
a11 |
a12 |
a13 |
= 0 . |
0 |
0 |
0 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
Это свойство вытекает из предыдущего при k = 0.
Свойство 6. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.
9
Свойство 7. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:
|
|
|
a/ |
+a// |
a |
a |
|
a/ |
a |
a |
|
a// |
a |
a |
|
|
11 |
11 |
12 |
13 |
|
11 |
12 |
13 |
|
11 |
12 |
13 |
|
||
Α |
|
= |
a21/ |
+a21// |
a22 |
a23 |
= |
a21/ |
a22 |
a23 |
+ |
a21// |
a22 |
a23 |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
a/ |
+a// |
a |
a |
|
a/ |
a |
a |
|
a// |
a |
a |
|
|
31 |
31 |
32 |
33 |
|
31 |
32 |
33 |
|
31 |
32 |
33 |
|
||
Свойство 8 . Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:
|
a11 |
+k a12 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
a21 |
+k a22 |
a22 |
a23 |
|
= |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
a31 |
+k a32 |
a32 |
a33 |
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
Замечание: пользуясь свойством 8, можно, не меняя величину определителя, все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, сделать равными нулю.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минором Mij элемента aij определителя |A| называется определитель, полученный из определителя |A| вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
ПРИМЕР: Найдите минор M22 элемента a22 определителя 3-го поряд-
ка |
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
. |
|
|
|
||
|
A |
|
= |
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
||
Решение: M22 |
= |
|
a11 |
a13 |
|
. |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a33 |
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определи-
теля |A| называется минор Mij этого элемента со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij :
Aij = (−1)i + j Mij .
ПРИМЕР:
|
|
1 |
2 |
3 |
: M22 = |
|
1 |
3 |
|
= −12, A22 = (−1)4 M 22 = −12 . |
Для определителя |
|
4 |
5 |
6 |
|
|
||||
|
|
7 |
8 |
9 |
|
|
7 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|A| |
|
|
|
|||
Свойство 9. |
Определитель |
|
|
|
численно равен сумме произведений |
|||||
элементов любой его строки на соответствующие алгебраические дополнения.
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
A |
|
= |
a21 |
a22 |
a23 |
=ai1 Ai1 +ai2Ai2 +ai3Ai3, i =1, 2, 3. |
|
||||||
|
||||||
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
ПРИМЕР:
Вычислим определитель 3-го порядка разложением по элементам первой
10