Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Юго-Западный государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Algebra.pdf

Скачиваний:

101

Добавлен:

12.04.2015

Размер:

677 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

3.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 1. Вычислите ранг матрицы

1		1			1		1		1
	3	−3			6		−6		9
	3	−3			6		−6		9
	1	1			4		4		9	.
	1	1			4		4		9
	1	−1			8		−8		27
	1	−1			8		−8		27
Решение:
1 1 1 1									1																		1 1 1 1							1
	3	−3 6 −6 9																									0 −6 3 −9 6
	3	−3 6 −6 9									→ {α			2	−3α			1	→α			2	}→				0 −6 3 −9 6								→
	1 1 4 4								9					2				1				2					1 1 4 4							9
	1 1 4 4								9																		1 1 4 4							9
	1	−1 8 −8 27																									1 −1 8 −8 27
	1	−1 8 −8 27																									1 −1 8 −8 27
									1				1		1			1			1
→ α2					→α2					0		− 2 1 −3 2
→ α2					→α2			→		0		− 2 1 −3 2											→ {α3 −α1 →α3 }→
	3								1				1		4			4			9
										1		−1			8		−8 27
										1		−1			8		−8 27
	1 1 1 1										1																1 1 1 1								1
		0			− 2 1			−3 2																				0		− 2 1 −3 2
→		0			− 2 1			−3 2				→ {α				4	−α			1	→α			4	}→			0		− 2 1 −3 2						→
		0 0 3 3									8					4				1				4				0 0 3 3							8
		0 0 3 3									8																	0 0 3 3							8
		1			−1 8																							0		− 2 7 −9 26
		1			−1 8			−8 27																				0		− 2 7 −9 26
												1		1		1				1			1
												0 − 2 1 −3 2
→ {α			4	−α		2	→α	4	}→			0 − 2 1 −3 2														→ {α			4	− 2α	3	→α	4	}→
			4			2		4				0		0			3			3			8						4		3		4
												0		0			3			3			8
												0		0		6			−6				24
												0		0		6			−6				24
	1				1		1		1			1
					− 2 1				−3 2
→ 0					− 2 1				−3 2				.
	0				0		3		3			8
					0		0	−12				8
	0				0		0	−12				8

В левом верхнем углу матрицы стоит определитель треугольного вида, который равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали 72 ≠ 0 , значит ранг матрицы равен четырем.

Ответ: ранг матрицы равен 4.

Задача 2. Решите систему линейных уравнений

x2 −3x3 +4x4 = −5,x1 −2x3 +3x4 = −4,

3x1 + 2x2 −5x4 =12,

4x1 +3x2 −5x3 = 5.

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы

0		1	−3	4	−5

	1	0	− 2	3	− 4

	3	2	0	−5	12	.

	4	3	−5	0	5

Если ∆ ≠ 0 , то неизвестные можно найти по формулам Крамера:

x1 = ∆∆1 , x2 = ∆∆2 , x3 = ∆∆3 , x4 = ∆∆4 .

Вычислим основной определитель												матрицы системы ∆					разложением по
элементам первой строки:
			0	1		−3	4				0	−2		3		1 −2	3


			1 0 −2 3
		∆ =	1 0 −2 3					= 0 (−1)1+1			2 0 −5				+1 (−1)1+2	3 0 −5		+
			3	2	0		−5				3	−5		0		4 −5	0
			4	3		−5	0				3	−5		0		4 −5	0
			4	3		−5	0					−2
+ (−3 ) (−1)1+3	1	0		3		+ 4 (−1)1+4			1	0			= 0 0 + (−1) (−30 )− 3 18 − 4 (−12 )= 24.
	1	0		3					1	0
	3	2	−5						3 2		0
	4	3		0					4	3		−5

Чтобы получить определитель ∆1 , заменим в ∆ первый столбец столбцом свободных членов

	−5	1				−3	4
	−5	1				−3	4
∆1 =	−4	0				−2	3				разложимопределительпо
∆1 =	12	2	0				−5		=																		=
	12	2	0				−5				элементам второгостолбца
	5	3				−5	0
=1 (−1)1+2					− 4		− 2			3		+ 0 (−1)2+2					−5		−3					4
					− 4		− 2			3							−5		−3					4
				12			0 −5										12			0 −5							+
				5			−5			0							5		−5					0
+2 (−1)3+2						−5	−3		4		+3 (−1)4+2					−5		−3					4
						−5	−3		4							−5		−3					4
						−4 −2 3										−4 −2 3									=
						5	−5		0							12		0					−5
= −1 (−30) +0 +(−2) 0 +3 (−2) = 24.
Аналогично вычисляем ∆2 , ∆3																					и ∆4 :
													0 −5 −3 4																			0 1 −5 4
													0 −5 −3 4																			0 1 −5 4
										∆2 =			1 −4 −2 3									= 48 , ∆3							=			1 0 −4 3							= 24 ,
													3	12	0			−5														3			2	12	−5
													4	5		−5		0														4			3	5	0
																					0		1				−3			−5
																					0		1				−3			−5
																	∆4	=			1 0 −2 −4													= −24 .
																					3		2				0			12
																					4		3				−5				5
Отсюда x1							=	∆1		= 24			=1, x2		= ∆2			=		48 = 2 , x3									=			∆3			=	24 =1 ,		x4		=	∆4	=	−24	= −1 .
Отсюда x1							=	∆		= 24			=1, x2		= ∆2			=		48 = 2 , x3									=						=	24 =1 ,		x4		=	∆4	=	24	= −1 .
								∆		24							∆			24												∆				24					∆		24
									1
									2
Ответ: X =									2	.

									1
								−1
Задача 3. Решите систему линейных уравнений
														x +2x					2		−		2x	3	+ x			4	− x			5	=1,
															1				2					3				4				5
														−2x1 −4x2 +4x3 −2x4 +2x5 = −2,
														− x −2x							2		+2x			3	− x		4	+ x			5		= −1.
															1						2					3			4				5

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы

						1		2	−2	1		−1	1
						1		2	−2	1		−1	1
(	Α	Β		)	=		−2	−4 4		−2 2			−2	→	α	+2α		→α					→
	Α	Β			=		−2	−4 4		−2 2			−2	→	α	+2α		→α					→
															{ 2		1				2	}
							−1	−2 2		−1 1			−1
																			1	2			−2 1 −1	1

	1					2 −2 1 −1					1
	1					2 −2 1 −1					1
																									→ (1 2		1).
→			0			0		0	0 0		0	→{α3 +α1 →α3}→ →							0	0			0 0 0	0	→ (1 2	−2 1 −1	1).
																			0	0			0 0 0	0
			−1		−2 2 −1 1						−1
			−1		−2 2 −1 1						−1

Ранг основной матрицы системы равен единице и совпадает с рангом расширенной матрицы системы, следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений совместна. Она равносильна уравнению:

x1 +2x2 −2x3 + x4 − x5 =1.

В качестве базисного неизвестного выберем x1 , остальные неизвестные считаем свободными. При x2 = c1 , x3 = c2 , x4 = c3 , x5 = c4 выразим базисное неизвестное через эти параметры:

x1 = −2c1 + 2c2 −c3 + c4 +1 .

Итак,

x1x2

x3x4

=−2c1 +2c2 −c3 +c4 +1,

=c1,

=c2 ,

=c3 ,

=c4 .

		−2		2		−1		1		1
		1		0		0		0		0
Ответ:		1		0		0		0		0
	X = c1	0	+ c2	1	+c3	0	+ c4	0	+	0
	X = c1	0	+ c2	1	+c3	0	+ c4	0	+	0	.
		0		0		1		0		0
		0		0		0		1		0
		0		0		0		1		0

Задача 4. Решите систему линейных уравнений

+ 2x

+ 4x

=18,

2x2 + 3x3 + 4x4 +

4x5 + 4x6 =18,

3x3 + 4x4 + 4x5 + 4x6 =18,

+ 4x

+ 8x

= 36,

+6x

12x

+12x

= 54,

+8x

12x

16x

+16x

= 72.

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы

					1		2	3	4	4	4	18
					1		2	3	4	4	4	18
						0	2	3	4	4	4	18
						0	2	3	4	4	4	18
(	Α	Β	)	=		0	0	3	4	4	4	18	→	α	− 2α	1	→ α	4 }	→
	Α	Β		=		0	0	3	4	4	4	18	→	α	− 2α		→ α		→
						2	4	6	8	8	8	36		{ 4
						2	4	6	8	8	8	36
						3	6	9	12	12	12	54
						4	8	12	16	16	16	72

1 2 3 4					4	4	18								1 2 3 4 4 4							18
1 2 3 4					4	4	18								1 2 3 4 4 4							18
	0	2	3	4	4	4	18									0	2	3	4	4	4	18
								α		−3α		→α												1	2	3	4	4	4	18
																								1	2	3	4	4	4	18
	0	0	3	4	4	4	18		5		1		5	→		0	0	3	4	4	4	18		0	2	3	4	4	4	18
→		0 0		0	0	0	0	→	5		1		5	→	→				0 0 0			0	→	0	2	3	4	4	4	18	.
0		0 0		0	0	0	0	α6 −4α1 →α6							0 0 0				0 0 0			0		0	0	3	4	4	4	18
	3 6		9	12 12 12			54									0	0	0	0	0	0	0		0	0	3	4	4	4	18
	3 6		9	12 12 12			54									0	0	0	0	0	0	0
	4	8	12 16 16 16				72									0	0	0	0	0	0	0

	В	левом		верхнем углу матрицы стоит треугольный	определитель
1	2	3	= 6 ≠ 0 ,	значит его можно считать базисным минором.	Ранг основной
1	2	3
0	2	3
0	0	3

матрицы системы линейных уравнений равен трем и равен рангу ее расширенной матрицы, следовательно, система совместна по теореме Кронекера – Капелли. Для удобства продолжим преобразования матрицы и приведем базисный минор не только к треугольному, но и к диагональному ви-

α −α →α

ду. С помощью преобразований 1 2 1 получим:

α2 −α3 →α2

1		0	0	0	0	0	0

	0	2	0	0	0	0	0
								.
	0	0	3	4	4	4	18

Восстановим по полученной матрице решение системы уравнений:

x1 = 0,2x2 = 0,

3x3 + 4x4 + 4x5 + 4x6 =18.

Базисный минор содержит базисные неизвестные x1 , x2 , x3 . Свободными являются неизвестные x4 , x5 , x6 . Придадим свободным неизвестным значения

x4 = c1, x5 =

Ответ:

c2 , x6 = c3 и перенесем их в правую часть уравнений:

		x				= 0,															x1 = 0,
				1			= 0,														x		= 0,
		2x2					= 0,															2
		3x					= −4c				−		4c		− 4c			+		18,				4			4				4
																					x		= −	4	c	−	4	c		−	4	c		+ 6,
																					x		= −		c	−	3	c		−	3	c		+ 6,
			x			3			,	1				2			3				↔	3		3 1			3		2		3		3
			x		4	= c			,												x		= c	,
					4	= c		1	,												x		= c	,
		x			5	= c		2	,													4	1
					5	= c		2													x5 = c2 ,
		x			6	= c		3
					6			3															= c3.
																					x6		= c3.
	0						0							0				0
	0						0							0					0
	0						0							0					0
	4						−	4						−	4
X = c	− 3	+ c						3		+ c									6	.
X = c	− 3	+ c						3		+ c					3	+			6	.
1	1			2			0					3		0				0
	1						0							0					0
	0						1							0					0
	0						0							1					0
	0						0							1					0

Задача 5. Решить систему линейных уравнений

x1 −2x2 + 3x3 − 4x4 = 4,x2 − x3 + x4 = −3,

x1 +3x2 −3x4 =1,−7x2 + 3x3 + x4 = −3.

Решение:

Воспользуемся методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

1 − 2 3 − 4						4													1 − 2 3						− 4	4
1 − 2 3 − 4						4													1 − 2 3						− 4	4

	0 1		−1 1			−3	→ {α			3		−α	1	→	α	3	}→			0 1				−1 1		−3 →
	1 3		0	−3						3			1			3				0 5				−3 1
	1 3		0	−3		1														0 5				−3 1		−3

	0	−7 3		1		−3														0	−7 3				1	−3
	0	−7 3		1		−3														0	−7 3				1	−3
														1	− 2			3			− 4			4
														1	− 2			3			− 4			4
				α3	− 5α2 →α3				,					0 1 −1 1										−3
			→	α3	− 5α2 →α3				,			→		0 1 −1 1										−3	→ {α			+ 2α			→α			}→
			→									→													→ {α		4	+ 2α	3		→α		4	}→
				α4	+ 7α2 →α4									0 0				2 − 4					12				4		3				4
				α4	+ 7α2 →α4									0 0				2 − 4					12
														0	0			− 4			8			− 24
	1		−2	3		−4		4

																						1		−2	3			−4			4
		0 1 −1 1						−3					α3									1		−2	3			−4			4
		0 1 −1 1						−3			→		α3		→α3							0 1 −1 1								−3
→		0 0 2				−4		12			→			2	→α3				→			0 1 −1 1								−3		.
		0 0 2				−4		12						2								0		0	1			−2			6
		0	0	0	0			0														0		0	1			−2			6
		0	0	0	0			0

В левом верхнем углу стоит треугольный определитель третьего порядка

1	−2	3	=1 ≠ 0 ,
1	−2	3
0	1	−1
0	0	1

значит ранг прямой матрицы системы равен 3, равен рангу ее расширенной матрицы, и система совместна.

Чтобы получить ее решение, получим нули под главной диагональю базисного минора с помощью преобразования α2 +α3 →α2 :

1		−2 3	− 4	4								1		0	3	−6	10
1		−2 3	− 4	4								1		0	3	−6	10
	0	1 0	−1	3	→ {α1			+ 2α2	→α1}→				0	1	0	−1	3	→
	0	1 0	−1	3	→ {α1			+ 2α2	→α1}→				0	1	0	−1	3	→
	0	0 1	− 2	6									0	0	1	− 2	6
					1		0	0	0	−8



→ {α1 −3α3			→α1			0 1 0			−1	3
→ {α1 −3α3			→α1	}→		0 1 0			−1	3	.
						0	0	1	−2	6

x2x3

Восстановим по матрице решение системы уравнений при x4 = c :

=−8,

=3 + c,

=6 + 2c,

=c.

		0		−8
		1		3
Ответ:		1		3
Ответ:	X = c	2	+	6	.
		2		6
		1		0
		1		0

Задача 6. Решите систему линейных уравнений

2x1 + x2 − x3 + x4 =1,3x1 − 2x2 + 2x3 −3x4 = 2,5x1 + x2 − x3 + 2x4 = −1,

2x1 − x2 + x3 −3x4 = 4.

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы уравнений

2	1	−1	1	1									2		1	−1	1	1

3	− 2	2	−3	2	α	3 −α1			−α2 →α3		,			3	− 2	2	−3	2
												→							→
5	1	−1	2	−1	→		−α		→α					0	2	− 2	4	− 4
					α	4		1		4

2	−1	1	−3	4										0	− 2	2	− 4	3

2		1	−3	1	1

	3	− 2 2		−3	2
→ {α4 +α3 →α4 }→						.
0		2	− 2	4	−4
	0	0	0	0	−1

Система несовместна, так как ранг основной матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы. Убедимся, что ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы. Чтобы не работать с дробями, проделаем вспо-

могательное преобразование α2 +α1 →α2 ,							α3 : 2 →α3 :
2		1	1	1	1		1		−3 3		−4	1

	1	−3 3		−4	1			2	1	1	1	1
						→{α1 ↔α2}→							.
	0	1	−1 2		−2			0	1	−1 2		−2
	0	0	0	0	−1			0	0	0	0	−1

Таким образом, элемент a11 = 1, что удобно для вычислений. С помощью преобразования α2 −2α1 →α2 , получим

1		−3 3 −4	1											1 −3 3 −4			1
1		−3 3 −4	1											1 −3 3 −4			1
	0	7 −7 9	−1	α			↔α		,						0 1 −1 2		−2	→
	0	1 −1 2		→		2		3					→		0 7 −7 9			→
	0	1 −1 2	−2		α	4	(−1) →α				4				0 7 −7 9		−1
						4					4
	0	0 0 0													0 0 0 0		1
	0	0 0 0	−1												0 0 0 0		1
						1	−3		3			−4			1
						1	−3		3			−4			1
						0	1 −1 2							−2
		→{α3 −7α2 →α3		}→		0	1 −1 2							−2		.
						0	0		0			−5			13
						0	0		0				0		1


Ранг прямой матрицы равен 3, так как она содержит минор
					1		−3	−4		= −5 ≠ 0
					1		−3	−4
					0		1		2
					0		0		−5

третьего порядка и не содержит отличных от нуля определителей большего порядка.

Ранг расширенной матрицы равен 4, так как она содержит минор

1	−3	−4	1
1	−3	−4	1
0	1	2	−2	= −5 ≠ 0
0	0	−5	13
0	0	0	1

четвертого порядка. Следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система несовместна.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.04.20152 Мб1129-Муфты.doc
#
15.03.2016971 Кб102978-5-7882-0688-2-Miheev_himiya-krasiteley.pdf
#
13.08.20191 Мб56A_Rapid_Course_in_English_for_Students_of_Econo...doc
#
12.04.20151 Мб89ACCESS 2007.pdf
#
12.04.2015682 Кб62AiG-2014.doc
#
12.04.2015677 Кб101Algebra.pdf
#
12.04.201564 Кб44Anketa-zayavka_uchastnika_Proekta.docx
#
12.04.20152 Мб384Aseeva_OSNOV_FILOSOFII_Uch_-metod_posobie.doc
#
12.04.2015378 Кб51b766 программа практик.pdf
#
12.04.2015576 Кб60b766.pdf
#
15.03.20163 Мб577Baranov_A_N_Vvedenie_v_prikladnuyu_lingvistiku_2001.doc