ВАШ КОРР КУРС Геометрия Ковал Лосева
.pdf
ÐА+ÐВ+ÐС=180о , Ð1=ÐА+ÐВ.
с2 - а2 = с |
2 - a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если 0о<ÐА<90о, то a2 = c2 + b2 |
- 2bc . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если 90o<ÐА<180о, то a2 = c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
+ b2 |
+ 2bcb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если a2 < c2 |
+ b2 , то 0о<ÐА<90о, ÐА – острый. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если a2 = c2 |
+ b2 (теорема Пифагора), то ÐА=90о, ÐА – прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если a2 > c2 |
+ b2 , то 90о<ÐА<180о, ÐА– тупой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
= |
|
|
b |
= |
|
|
|
c |
|
=2R - теорема синусов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin A |
|
sin B |
sin C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a2 = c2 |
|
+ b2 - 2bccosÐA ; |
|
b2 = a2 + c2 |
- 2accosÐB ; |
c2 = a2 + b2 |
- 2abcosÐC |
- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теорема косинусов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a - b |
|
|
tg |
|
A - B |
|
|
b - c |
tg |
|
B - C |
|
|
|
c - a |
|
|
tg |
C - A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- теорема тангенсов. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
a + b |
|
|
tg |
|
A + B |
b + c |
tg |
|
B + C |
|
c + a |
|
|
tg |
|
C + A |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следствия |
из |
|
|
теоремы |
косинусов: |
|
a2 |
|
= b2 |
+ c2 |
- 4SctgA; |
|
a2 |
= (b + c)2 - 4Sctg |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a2 = (b - c)2 + 4Stg |
. a2 |
= b2 |
+ c2 ± 2cb |
, где bc |
– проекция стороны b на сторону с; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
«+» – если угол сb тупой, «–» – если угол сb острый. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Нахождение площади треугольника: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
S |
|
|
= |
1 |
bh |
= |
1 |
ah |
= |
1 |
ch ; S |
|
|
= |
|
1 |
bcsin ÐA = |
1 |
absin ÐC = |
1 |
acsin ÐB ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ABC |
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
a |
2 |
|
c |
|
|
|
ABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
SABC = 2R2 sin ÐAsin ÐBsin ÐC ; |
SABC = p2tg |
|
A |
tg |
B tg C |
; SABC = с2 sin Bsin А ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C cos C |
|
|
|
|
|
|
|
= abc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2sin(B + А) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
SABC = basin |
|
; SABC |
; SABC = ðr ; SАВС= |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p( p - a)( p - b)( p - c) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
формула Герона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SABC |
|
|
|
|
|
|
AB × AC |
|
|
|
SABC |
|
|
c |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Если у двух треугольников ÐA = ÐA , |
то |
|
|
|
= |
|
|
|
; |
|
|
|
= |
|
при hc=hc1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
SA B C |
|
|
A1 B1 × A1C1 |
|
SA B C |
|
c1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
R = abc , r = |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
; |
r = 4Rsin |
|
sin |
sin |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a= 2R sinA , где R – радиус описанной окружности;
ð= R(sin A + sin B + sin C) = 4R cos A2 cos B2 cos C2 ; ha = bsin C = 2Rsin Bsin C .
10
Высоту, медиану и биссектрису называют замечательными линиями треугольника: h – высота,
m – медиана,
l – биссектриса,
le – биссектриса соответствующего внешнего угла,
mb – проекция медианы на сторону b, ac = 2hR , с2 - a2 = 2bmb ,
a = 23 
2(mb2 + mc2 ) - ma2 .
В любом треугольнике все его медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в соотношении
2:1, считая от вершины, и называется центром тяжести треугольника.
m2 = |
с2 + а2 |
- b2 |
|
ma |
|
1 |
|
|
, |
= |
2(b2 + c2 ) - a2 |
. |
|||||
|
2 |
4 |
|
|
|
2 |
|
|
Все биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной окружности. Биссектриса одного из внутренних углов и биссектрисы двух внешних углов, к нему не прилежащих, пересекаются в одной точке.
lb2 = a × c × |
(a + c)2 - b2 |
, le2 |
= a × c × |
b2 - (a - c)2 |
, lb = |
|
, |
|||||||
a × c - AL × LC |
||||||||||||||
(a + c)2 |
|
(a - c)2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
AL = |
CL |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
, lb |
= |
|
ac(a + b + c)(a + c - b) |
||||||||||
|
à |
|
|
|
a + c |
|
|
|||||||
|
ñ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Все высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Перпендикуляры, восставленные в серединах сторон треугольника, пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной около треугольника окружности.
h2 |
= |
4 p( p − a)( p − b)( p − c) |
, |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
= |
1 |
. |
b2 |
h |
h |
h |
|
|||||||
b |
|
|
|
|
|
r |
|||||
|
|
|
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
Расстояние d между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника выражается формулой Эйлера: d 2 = R2 − 2Rr .
Для прямоугольного треугольника:
ac ,bc – проекции соответствующих катетов на гипотенузу; hc - высота, проведенная к гипотенузе; mc - медиана, проведенная к
гипотенузе; |
c2 = a2 + b2 |
- |
теорема |
Пифагора; |
|||||||||
ba = chc ; |
hc2 = ac × bc ; |
|
b2 = b × c ; |
a2 = ac × c; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
m = |
1 c ; |
S |
|
= |
1 ab = |
1 ch |
, r= a + b − c , R= c ; |
||||||
c |
2 |
|
|
|
ABC |
|
2 |
|
2 |
c |
2 |
2 |
|
sin A = |
BC |
|
, |
cos A = |
AC |
, |
tg A = BC , tg A = sin A . |
||||||
AB |
AB |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
AC |
cos A |
||||
a = c ×sin ÐA = c × cosÐB = b ×tgÐA = b × ctgÐB .
11
Для равностороннего треугольника:
Если a = b = c , то ABC – равносторонний;
ÐА = ÐВ = ÐС = 60o . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
SАВС= |
a2 |
3 |
|
, r= |
a |
3 |
, |
R= |
a |
|
3 |
, |
4 |
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a=R 
3 .
Для равнобедренного треугольника:
Если а = с , то DАВС – равнобедренный; ÐA = ÐC , hb = mb = lb .
Равенство треугольников
I. Для произвольных треугольников DABC = DA1B1C1 , если:
1)a = a1 ,b = b1 ,ÐC = ÐC1 ; a = a1 ,c = c1 ,ÐB = ÐB1 ; c = c1 ,b = b1 ,ÐA = ÐA1 .
2)a = a1 ,ÐC = ÐC1 ,ÐB = ÐB1 ; b = b1 ,ÐA = ÐA1 ,ÐC = ÐC1 ,
c = c1 ,ÐA = ÐA1 ,ÐB = ÐB1.
3)a = a1 ,b = b1 ,c = c1 .
II. Для прямоугольных треугольников справедливы также признаки:
·ñ = ñ1 ,ÐA = ÐA1; c = c1 ,ÐB = ÐB1 ;
·c = c1 ,b = b1 ; c = c1 ,a = a1 .
|
|
|
Подобие треугольников |
a |
|
b |
|
c |
|
|
Если ∆ АВС ~ ∆ А1В1С1, то ÐА=ÐA1, ÐB=ÐB1, ÐC=ÐC1, |
= |
= |
= k , k – |
|||||||
a |
b |
c |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
SADC |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
коэффициент подобия; |
|
= k 2 . ∆ АВС ~ ∆ А1В1С1, если: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
SA B C |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- для произвольных треугольников:
1) ÐА=ÐA1, ÐB=ÐB1; ÐB=ÐB1, ÐC=ÐC1; ÐА=ÐA1, ÐC=ÐC1.
2) |
a |
= |
|
b |
|
, ÐC=ÐC1; |
a |
= |
c |
, ÐB=ÐB1; |
b |
= |
c |
, ÐА=ÐA1; |
||
a |
|
b |
a |
c |
b |
c |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||
3) |
a |
= |
b |
|
= |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- для прямоугольных треугольников справедлив также признак: b = b1 ; c c1
В прямоугольном треугольнике ∆ АВС ~ ∆ АСН ~ ∆ ВСН.
a = a1 . c c1
12
Всякая прямая, параллельная одной из сторон треугольника, образует с двумя другими его сторонами треугольник, подобный первому.
Трансверсаль – любая прямая, пересекающая стороны треугольника.
Дополнительные теоремы
Теорема Менелая:
Формулировка: |
АК |
× BL |
× CM |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
КВ |
LC |
MA |
|
|
|
|
|
|
|
Обратная теорема Менелая: |
|
АК |
|
BL |
|
CM |
|
|||
Формулировка: |
пусть K AB, L BC, M AC . Если |
× |
× |
=1, то точки |
||||||
|
|
|
|
|
КВ |
|
LC |
|
MA |
|
K, L, M лежат на одной прямой.
Теорема Чевы:
Формулировка: Чтобы отрезки пересекались в одной точке, необходимо и
достаточно, чтобы AC1 × BA1 × CB1 = 1. (*)
C1 B A1C B1 A
Теорема Стюарта:
Формулировка: Расстояние d от вершины С ∆АВС до произвольной точки D
стороны АВ определяется равенством: d 2 = nc a2 + mc b2 - mn .
13
2. Система задач для аудиторных занятий
І. Базовый уровень сложности
Задача 1. В равнобедренном треугольнике основание равно 12 см, а боковая сторона равна 10 см. Чему равны периметры треугольников, полученных при проведении высоты к основанию треугольника?
Указание: используйте свойство высоты, проведенной к основанию.
Ответ: 24 см.
Задача 2. Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 16 см, а площадь – 48 см2. Найдите периметр треугольника.
Указание: используйте свойства равнобедренного треугольника; высоты, проведенной к основанию.
Ответ: 36 см.
Задача 3. Стороны треугольника равны 4 см, 6 см и 2
7 см. Вычислите углы треугольника.
Указание: используйте теоремы косинусов, синусов; теорему о сумме углов треугольника.
Ответ: 60º, 79º, 41º.
Задача 4. Гипотенуза прямоугольного треугольника в 4 раза больше опущенной на неё высоты. Найдите острые углы этого треугольника.
Указание: проведите медиану из вершины прямого угла, рассмотрите описанную около треугольника окружность.
Ответ: 15º и 75º.
Задача 5. Один из углов прямоугольного треугольника 15º. Выразите площадь этого треугольника через его гипотенузу с.
Указание: проведите медиану из вершины прямого угла, рассмотрите описанную около треугольника окружность.
Ответ: с2 .
8
Задача 6. Площадь треугольника АВС равна S. Отрезок MN, параллельный стороне ВС, отсекает треугольник, площадь которого равна S1. Пусть Х – произвольная точка на стороне ВС. Найдите площадь четырёхугольника AMXN.
Указание: проведите высоты треугольников AMN и АВС; рассмотрите подобные треугольники.
Ответ: 
SS1 .
Задача 7. Высота и медиана треугольника, которые выходят из одной вершины, делят этот угол на три равные части. Докажите, что данный треугольник прямоугольный.
Указание: отобразите вершину С относительно АВ, рассмотрите треугольники. Задача 8. Докажите, что если между сторонами треугольника существует такая
зависимость a2 = b2 + bc , то ÐА=2ÐВ.
Указание: отложите на продолжении АС отрезок, равный с; рассмотрите треугольники.
14
Задача 9. В треугольнике АВС дано: ÐАВС=100º, ÐАСВ=65º. На стороне АВ взята точка М так, что ÐМСВ=55º, а на стороне АС – точка N так, что ÐNBC=80º. Найдите ÐNMC.
Указание: опишите около треугольника окружность, продлите BN до пересечения с окружностью.
Ответ: 25º.
Задача 10. Докажите, что если a и b – стороны треугольника, α – угол между ними и
|
2abcos |
α |
|
l – биссектриса этого угла, то l = |
|
2 |
. |
a + b |
|
||
|
|
|
|
Указание: выразите биссектрису через площади полученных треугольников.
ІІ. Продвинутый уровень сложности
Задача 1. В ∆ АВС со сторонами а=14 см, b=15 см и с=13 см. Найдите расстояние от точки пересечения высот до вершины А.
Указание: выразите площадь разными способами; рассмотрите прямоугольные треугольники.
Ответ: 334 см.
Задача 2. В прямоугольном треугольнике АВС (ÐС=90º) проведена высота СD. Радиусы окружностей, вписанных в ∆ ACD и ∆ BCD, равны 0,6 и 0,8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в ∆ АВС.
Указание: рассмотрите подобные треугольники; сложите почленно полученные равенства.
Ответ: 1 см.
Задача 3. Площадь прямоугольного треугольника равна |
2r |
2 |
3 |
, где r – радиус |
|
|
|
окружности, касающейся одного катета и продолжений другого катета и гипотенузы. Найдите стороны треугольника.
Указание: рассмотрите радиусы окружности, примените теорему Пифагора, решите составленное уравнение.
Ответ: r, 43 r и 53 r .
Задача 4. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15 см. Определите площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами. Указание: рассмотрите треугольники, на которые медианы разбивают данный треугольник.
Ответ: 14 см2.
Задача 5. Определите площадь треугольника, если две его стороны равны 35 и 14 см, а биссектриса угла между ними равна 12 см.
Указание: используйте формулу для нахождения биссектрисы, теорему косинусов, преобразование полученного выражения.
Ответ: 235,2 см2.
Задача 6. Даны два параллелограмма ABCD и AMPN, вершины M и N второго параллелограмма принадлежат сторонам АВ и AD первого. Прямые BN и DM пересекаются в точке Q. Докажите, что точки C, P и Q принадлежат одной прямой.
15
Указание: используйте теорему Менелая, обратную теорему Менелая.
Задача 7. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Через середину М стороны АВ проведена прямая МО, пересекающая сторону СD в точке
N. Найдите СNDN , если АО=ОС и ODBO = 2.
Указание: выполните дополнительное построение и воспользуйтесь теоремой
Менелая. Ответ: 2.
Задача 8. На медиане CD треугольника АВС взята произвольная точка Е. Прямые АЕ и ВЕ пересекают стороны ВС и СА треугольника соответственно в точках М и N. Докажите, что треугольники АСМ и ВСN равновелики.
Указание: используйте теорему Чевы.
Задача 9. Докажите, что mc2 = |
a2 + b2 |
- |
c2 |
. |
|
|
|||
2 |
4 |
|
||
Указание: примените теорему Стюарта, выполните преобразования полученного выражения.
Задача 10. Докажите, что в любом треугольнике lc2 = ab − mn , где lc – биссектриса
CD, проведенная к стороне АВ, т – ВD, п – AD. Указание: примените теорему Стюарта.
3. Задания для самоконтроля
1. В прямоугольном треугольнике АВС, где ÐС=30º, из вершины прямого угла В проведена медиана ВК. Найдите площадь треугольника ВСК, если длина катета АВ равна 4 см.
Указание: используйте свойство катета, лежащего напротив угла 30º; теорему Пифагора; рассмотрите равновеликие треугольники.
Ответ: 4
3 см2.
2. Сторона треугольника равна 28 см, а две другие образуют угол 120º, их сумма равна 32 см. Найдите стороны треугольника.
Указание: используйте теорему косинусов, решите квадратное уравнение.
Ответ: 12 см, 20 см.
3. В треугольнике сторона равна 6 см, один из углов, прилежащих к этой стороне, равен 60º, сторона, лежащая против этого угла, равна 14 см. Найдите площадь треугольника.
Указание: используйте теорему косинусов, формулу Герона.
Ответ: S∆=24
3 см2
4. Стороны треугольника равны 4см, 20 см и 18 см. Произведение сторон подобного треугольника равно 22,5. Найдите стороны второго треугольника.
Указание: используйте соотношения элементов в подобных треугольниках.
Ответ: 1 см, 5 см, 4,5 см.
5. В треугольниках АВС и DEF ÐA=ÐE, ÐC=ÐD, CA=6 мм, ED=10 мм, суммы сторон AB и EF, BC и DF соответственно равны 24 мм и 32 мм. Найдите длины этих сторон.
16
Указание: примените признаки подобия треугольников, свойства подобных треугольников.
Ответ: АВ=9 мм, ВС=12 мм, EF=15 мм, DF=20 мм.
6. В прямоугольном треугольнике АВС (ÐВ=90º), высота, проведенная из вершины В, равна а, медиана, проведенная к гипотенузе, равна b. Найдите площадь ∆АВС.
Указание: гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности.
Ответ: ab.
7. В прямоугольном треугольнике АВС (ÐС=90º) проведена высота CD= 
2 см, AD=1 см. Найдите стороны ∆АВС.
Указание: воспользуйтесь свойством высоты, проведенной из прямого угла, и теоремой Пифагора.
Ответ: 
3 см, 
6 см, 3 см.
8. В равнобедренном треугольнике с основанием 16 см проведена медиана к боковой стороне. Найдите проекцию этой медианы на основание.
Указание: проведите медиану к основанию треугольника, рассмотрите среднюю линию треугольника.
Ответ: 12 см.
9. В ∆АВС АВ=15 см, ВС=13 см, АС=14 см. Найдите высоту ВD и длины отрезков, на которые высота ВD делит сторону АС.
Указание: найдите площадь треугольника по формуле Герона; из другой формулы для нахождения площади треугольника вычислите высоту; используйте теорему Пифагора.
Ответ: 12 см; 9 см и 5 см.
10. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина меньшей окружности равна 8π. Найдите площадь образовавшегося кольца и площадь треугольника.
Указание: используйте формулы длины окружности, радиусов вписанной и описанной около правильного треугольника окружностей, площади правильного треугольника, площади круга.
Ответ: S∆=48
3 см2; Sкольца=49π см2.
Занятие № 3
Тема занятия: «Методы решения планиметрических задач. Геометрия четырехугольника, выпуклого многоугольника, окружности»
Цели:
-Обучающие:
v обобщить и углубить школьные знания студентов о свойствах четырёхугольников, выпуклых многоугольников, окружностей;
v сформировать умение применять их при решении различных задач.
17
- Развивающие:
vразвивать умение анализировать условие задачи;
vвыявлять существенные и несущественные свойства объекта, необходимые для решения задачи;
vнаходить наиболее рациональный метод решения;
vразвивать «геометрическое зрение», абстрактное и логическое мышление
1. Краткое изложение теоретического материала
Четырёхугольник – фигура, состоящая из четырёх точек (вершин четырёхугольника) и четырёх последовательно соединяющих их отрезков (сторон четырёхугольника). При этом никакие из трёх данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Четырёхугольник является выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
Если диагонали четырёхугольника пересекаются, то он выпуклый.
|
|
|
SABCD = |
1 |
AC × BD × sin Ðϕ , где ϕ - угол |
||
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
между диагоналями четырёхугольника. |
||||
|
|
|
Диагонали |
четырёхугольника |
|||
|
|
|
перпендикулярны тогда и только тогда, |
||||
|
|
|
когда суммы квадратов длин его |
||||
|
|
ABCD |
противоположных сторон равны. |
|
|||
Если |
четырёхугольник |
вписан |
|
в |
окружность, |
то |
|
SABCD = 
( p - a)( p - b)( p - c)( p - d) ; AC × BD = AB ×CD + AD × BC (теорема Птолемея).
Если в четырёхугольник ABCD вписана окружность, то AB + CD = AD + BC .
Теорема Эйлера:
Формулировка:
для произвольного четырёхугольника АВСD, у которого АМ=МС и BN=ND выполняется
MN 2 = 14 (AB2 + BC2 + CD2 + AD2 - AC2 - BD2 ) .
Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
AB = CD, BC = AD; ÐA = ÐC,ÐB = ÐD;
AO = OC, BO = OD , KM - произвольная прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей
O , KO = OM , ВН ^ AD .
SABCD = BH × AD = AB× AD×sinÐA = 12 AC× BD×sinÐϕ ,
где ϕ - угол между диагоналями параллелограмма. AC2 + BD2 = 2 × (AB2 + CD2 ).
18
Ромб – параллелограмм, все стороны которого равны.
AB = BC = CD = DA, |
|
AC BD ; |
SABCD = BH × AD = AB2 × sin ÐA = |
1 AC × BD . |
|
|
2 |
|
Прямоугольник – параллелограмм, |
у которого все углы |
|
прямые. ÐA = ÐB = ÐC = ÐD = 90o , AB=CD, BC=AD. |
||
SABCD = AB × AD = 1 AC × BD ×sin Ðϕ , |
где ϕ - угол |
|
2 |
|
|
между диагоналями прямоугольника. |
|
|
Квадрат – параллелограмм, у которого все стороны |
||
равны, все углы прямые. |
AB = BC = CD = DA, |
|
ÐA = ÐB = ÐC = ÐD = 90o , SABCD = AB2 = 12 AC2 .
Трапеция – четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны.
Трапеция называется равнобокой, если две непараллельные стороны равны, прямоугольной, если один из углов трапеции прямой. k - средняя линия трапеции, h - высота трапеции.
k = |
BC + AD |
; SABCD = k × h . |
|
2 |
|
Если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то её площадь равна квадрату её высоты.
Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрически её оснований.
Многоугольник – простая замкнутая ломаная, соседние звенья которой не лежат на одной прямой. Плоским многоугольником называют конечную часть плоскости, ограниченную многоугольником. Многоугольник является выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180o (n - 2). Сумма внешних углов
выпуклого п-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360о. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.
а – сторона правильного многоугольника, R – радиус описанной окружности, n – число сторон правильного многоугольника, r – радиус вписанной окружности, т – апофема расстояние от центра вписанной окружности до стороны многоугольника,
m=r, т = R2 − a2 .
4
19